женские трусы больших размеров
Medical site

На головну

АвторЛакатоса І .
НазваДокази і опроверженія.Как доводяться теореми
Рік видання 1976

Введення

В історії думки часто трапляється, що при появі нового потужного методу швидко висувається на авансцену вивчення задач, які цим методом можуть бути вирішені, в той час як все інше ігнорується , навіть забувається, а вивченням його нехтують.

Саме це ніби відбулося в нашому столітті в галузі філософії математики в результаті стрімкого розвитку метаматематики.

Предмет метаматематики полягає в такий абстракції математики, коли математичні теорії замінюються формальними системами, докази - деякими послідовностями добре відомих формул, визначення - «скороченими виразами», які «теоретично необов'язкові, але зате типографического зручні» [1] .

Така абстракція була придумана Гільбертом, щоб отримати потужну техніку дослідження завдань методології математики. Разом з тим є завдання, які випадають з рамок метаматематичних абстракції. У їх числі знаходяться всі завдання, що відносяться до «змістовної» математики та її розвитку, і всі завдання, що стосуються ситуаційної [2] логіки і рішення математичних задач.

Школу математичної філософії, яка прагне ототожнити математику з її метаматематичних абстракцією (а філософію математики - з метаматематиці), я буду називати «формалістской» школою. Одна з найбільш виразних характеристик формалістской позиції знаходиться у Карнапа (1937) [3]. Карнап вимагає, щоб (а) філософія була замінена логікою науки ..., але (в) «логіка науки представляє не що інше, як логічний синтаксис мови науки» ..., (с) «метаматематика ж є синтаксисом математичної мови» ( стор XIII і 9). Отже, філософію математики слід замінити метаматематиці.

Формалізм відокремлює історію математики від філософії математики, так як згідно формалістской розумінню математики, власне кажучи, історії математики не існує. Будь формаліст цілком буде згоден з зауваженням Рассела, висловленим «романтично», але зробленим цілком серйозно, що «Закони думки» Буля (Boole, 1854) були «першою книгою, коли-небудь написаної з математики» [4]. Формалізм заперечує статус математики для більшої частини того, що зазвичай розумілося як входить в математику, і нічого не може сказати про її «розвитку». Жоден з «творчих» періодів і навряд чи один з «критичних» періодів математичних теорій може бути допущений в формалістичне небо, де математичні теорії перебувають як серафими, очищені від усіх плям земної недостовірності. Однак формалісти зазвичай залишають відкритим невеликий чорний хід для занепалих ангелів; якщо для яких-небудь «сумішей математики і чогось іншого» виявиться можливим побудувати формальні системи, «які в деякому сенсі включають їх», то вони можуть бути тоді допущені. За таких умов Ньютону довелося прочекати чотири століття, поки Пеано, Рассел і Куайн (Quine) допомогли йому влізти на небо, формалізувати його обчислення нескінченно малих. Дірак виявився більш щасливим: Шварц врятував його душу ще за його життя. Може бути, ми повинні згадати тут парадоксальне утруднення метаматематика: по формалістським або навіть по дедуктівістскім стандартами він не є чесним математиком. Додання говорить про «абсолютну необхідність для кожного математика, який дбає про інтелектуальної чесності (виділення моє. - Авт.), Представляти свої міркування в аксіоматичної формі» (1939, стор 225).

При сучасному пануванні формалізму мимоволі впадаєш у спокусу перефразувати Канта: історія математики, позбувшись керівництва філософії, зробилася сліпий, тоді як філософія математики, повернувшись спиною до найбільш інтригуючим подій історії математики, зробилася порожньою.

«Формалізм» представляє фортеця логічної позитивістської філософії. Якщо слідувати логічному позитивізму, то твердження має сенс тільки, якщо воно є «тавтологічним» або емпіричним. Так як змістовна математика не є ні «тавтологічне», ні емпіричної, то вона повинна бути безглуздою, вона - чистий дурниця [5]. Догмати логічного позитивізму згубні для історії та філософії математики.

Метою цих статей є підхід до деяких проблем методології математики. Я вживаю слово «методологія» в сенсі, близькому до «евристиці» [6] Полья і Бернайса і до «логіці відкриття» чи «ситуаційної логіці» Поппера [7]. Недавня експропріація терміна «методологія математики» для використання як синонім «метаматематики» має безсумнівно формалістський присмак. Це показує, що в формалістской філософії математики немає справжнього місця для методології як логіки відкриття [8]. Якщо вірити формалістам, то математика буде тотожна формалізованої математики. Але що можна відкрити в формалізованої теорії? Два ряди речей. По-перше, можна відкрити вирішення завдань, які машина Тюрінга при підходящої програмі може вирішити за кінцевий час (як, наприклад, чи буде деякий запропоноване доказ дійсно доказом чи ні?). Жоден математик не зацікавлений в тому, щоб стежити за цим нудним механічним «методом», приписуваними процедурами такого рішення. По-друге, можна знайти рішення завдань на зразок: чи буде теоремою чи ні деяка формула теорії, в якій не встановлено можливість остаточного рішення, де можна керуватися тільки «методом» некерованою інтуїції і удачі.

Так от, для живої математики непридатна ця похмура альтернатива машинного раціоналізму та ірраціонального відгадування наосліп [9]. Дослідження неформальній математики дає творчим математикам багату ситуаційну логіку, яка не буде ні механічної, ні ірраціональної, але яка ніяк не може отримати визнання, тим більше заохочення формалістской філософії.

Історія математики і логіка математичного відкриття, тобто філогенез і онтогенез [10] математичної думки, не можуть бути розвинені без критицизму і остаточної відмови від формалізму.

Але формалістской філософія математики має дуже глибоке коріння. Вона являє остання ланка в довгому ланцюгу догматістскіх філософій математики. Адже вже більше двох тисяч років йде суперечка між догматиками і скептиками. Догматики стверджують, що силою нашого людського інтелекту і почуттів, або тільки одних почуттів, ми можемо досягти істини і дізнатися, що ми її досягли. Скептики, з іншого боку, чи стверджують, що ми абсолютно не можемо досягти істини (хіба тільки за допомогою містичного експерименту), або що якщо навіть зможемо досягти її, то не можемо знати, що ми її досягли. У цьому великому суперечці, в якому час від часу аргументи осучаснював, математика була гордою фортецею догматизму. Всякий раз, коли математичний догматизм потрапляв у «криза», яка-небудь нова версія знову надавала йому справжню строгість і справжні основи, відновлюючи образ авторитарної, непогрішною, незаперечною математики - «єдиною науки, яку Бог захотів дати людству» (Гоббс, 1651) . Велика частина скептиків примирилася з неприступністю цієї фортеці догматістской теорії пізнання [11]. Кинути цього виклик - давно вже стало необхідним.

Мета цього етюду і є цей виклик математичного формалізму, але це не прямий виклик основним положенням математичного догматизму. Наша скромна мета полягає у встановленні положення, що неформальна квазіемпіріческая математика не розвивається як монотонне зростання кількості безсумнівно доведених теорем, але тільки через безперервне поліпшення здогадок за допомогою роздуми і критики, за допомогою логіки доказів і спростувань. Оскільки, однак, метаматематика представляє парадигму неформальній квазіемпіріческой математики і в даний час знаходиться у швидкому зростанні, то ця стаття тим самим кидає виклик сучасному математичному догматизму. Дослідник недавньої історії метаматематики знайде на його власному полі описані тут зразки.

Діалогічна форма повинна відобразити діалектику оповідання; вона повинна містити свого роду раціонально реконструйовану або «дистильовану» історію. Реальна історія звучатиме в підрядкових примітках, велика частина яких тому повинна бути розглянута як органічна частина статті.

1. Завдання і здогад

Діалог відбувається в уявній класній кімнаті. Клас зацікавився завданням: чи існує співвідношення між числом V вершин, числом Е ребер і, нарешті, числом F граней багатогранника - зокрема, правильного багатогранника - аналогічно тривіального співвідношенню між числами вершин і сторін багатокутників, а саме: що існує стільки ж сторін, скільки і вершин: V = Е? Останнє співвідношення дозволяє класифікувати багатокутники за кількістю сторін (або вершин): трикутники, чотирикутники, п'ятикутники і т. д. Аналогічне співвідношення допоможе класифікації багатогранників.

Після великої кількості випробувань і помилок клас зауважує, що для всіх правильних багатогранників V - E + F = 2 [12] .

Хтось висловлює здогад, що це може бути застосовні до будь-якого багатограннику. Інші намагаються оскаржити цю здогадку, випробувати її багатьма різними способами - вона витримує добре. Цей результат підкріплює здогад і наводить на думку, що вона може бути доведена. У цей момент - після стадій постановки завдання і припущень - ми входимо до класної кімнати [13]. Учитель як раз готується дати доказ.

2. Доказ

Учитель. На нашому останньому уроці ми прийшли до здогаду щодо багатогранників, а саме: що для всіх багатогранників V - Е + F = 2, де V - число вершин, Е - число ребер і F - число граней . Ми випробували її різними способами. Але ми поки що не довели її. Може бути, хто-небудь знайшов доказ?

Учень Сигма. Я зі свого боку повинен зізнатися, що поки ще не придумав суворого докази цієї теореми ... Однак істинність її була встановлена ??в дуже багатьох випадках, і не може бути сумніву, що вона справедлива для будь-якого тіла. Таким чином, ця пропозиція, мабуть, доведено цілком задовільно [14]. Але якщо у вас є доказ, то, будь ласка, дайте його.

Учитель. Дійсно, я його маю. Воно полягає в наступному уявному експерименті. Перший крок. Уявімо, що багатогранник буде порожнистим з поверхнею з гуми. Якщо ми виріжемо одну з його граней, то всю іншу поверхню ми можемо, не розрізаючи, розтягнути на плоскій дошці. Грані і ребра будуть деформуватися, ребра можуть стати криволінійними, але V, Е і F не зміняться, так що якщо і тільки якщо V - Е + F = 2 для початкового багатогранника, то V - Е + F - 1 для цієї плоскої мережі - згадайте, що ми одну грань видалили. (На рис. 1 показана така мережа для куба.) Другий крок. Тепер ми стріангуліруем нашу карту - вона дійсно виглядає як географічна карта. Проведемо (може бути, криволінійні) діагоналі в тих (може бути, криволінійних) багатокутниках, які ще не є (може бути, криволінійними) трикутниками. Провівши кожну діагональ, ми збільшуємо і E і F на одиницю, так що сума V - Е + F не зміниться (рис. 2).

Рис.3

Третій крок. Тепер будемо виймати з тріангулірованной мережі трикутники один за іншим. Виймаючи трикутник, ми або виймаємо ребро, причому зникають одна грань і одне ребро (рис. 3, а), або виймаємо два ребра і вершину; тоді зникають одна грань, два ребра і одна вершина (рис. 3, б). Таким чином, якщо V - Е + F = 1 до виїмки трикутника, то воно залишиться таким же і після виїмки. Наприкінці цієї процедури ми отримуємо один трикутник. Для нього V - Е + F = 1 є справедливим. Таким чином, ми довели нашу здогадку [15] .

Учень Дельта. Ви повинні назвати це тепер теоремою. Тепер тут вже немає нічого з області припущень [16] .

Учень Альфа. Не знаю. Я бачу, що цей експеримент можна виконати за кубом або з тетраедром, але як я можу знати, що його можна провести з будь-яким многогранником. До речі, чи впевнені ви, сер, що всякий багатогранник після усунення однієї грані може бути розгорнутий плоско на дошці? У мене є сумніви щодо вашого першого кроку.

Учень Бета. Чи впевнені ви, що при тріангулірованія карти ви завжди отримаєте нову грань для будь-якого нового ребра? У мене є сумніви щодо вашого другого кроку.

Учень Гамма. Чи впевнені ви, що коли ви будете відкидати трикутники один за іншим, то вийдуть тільки дві альтернативи - зникнення одного ребра або ж двох ребер і однієї вершини? Чи впевнені ви також, що наприкінці процесу залишитеся тільки з одним трикутником? У мене є сумніви щодо вашого третього кроку [17] .

Учитель. Звичайно, я не впевнений.

Альфа. Але ж це ще гірше, ніж раніше. Замість однієї здогадки, ми тепер маємо щонайменше три! І ви називаєте це «доказом»!

Учитель. Я допускаю, що традиційна назва «доказ» для цього уявного експерименту, мабуть, не зовсім підходить. Я не думаю, що цей експеримент встановлює істинність здогадки.

Дельта. Ну а що ж він тоді робить? Що ж, по-вашому, доводить математичне доказ?

Учитель. Це тонке питання, на який ми спробуємо відповісти пізніше. До тих пір я пропоную зберегти освячений часом технічний термін «доказ» для уявного експерименту, або квазіексперименту, який пропонує розкладання первісної здогадки на допоміжні здогадки або леми, таким чином вплутуючи її, може бути, в абсолютно далеку область знання. Наприклад, наше «доказ» до первісної здогад - про кристалах, або, скажімо, про тверді тіла - включило теорію гумових листів. Декарт або Ейлер, отці первісної здогади, напевно ні про що подібне не думали [18] .

3. Критика докази за допомогою контрапрімеров, які є локальними, але не глобальними

Учитель. Підказати доказом розкладання здогадки відкриває нові горизонти для проб. Це розкладання більш широким фронтом розгортає здогад, так що наш дух критики отримує більшу кількість цілей. Ми тепер замість однієї маємо щонайменше три можливості для контрапрімеров.

 Гамма. Я вже висловив мою незгоду з вашою третій лемою (а саме, що при вийманні трикутників з мережі, вийшла після розтягування і подальшої тріангуляції, ми маємо тільки дві можливості: ми прибираємо або тільки одне ребро, або ж два ребра з вершиною). Я підозрюю, що при видаленні трикутника можуть з'явитися і інші можливості.

 Учитель. Підозра - це ще не критика.

 Гамма. А контрапрімер буде критикою?

 Учитель. Звичайно. Здогадам немає діла до незгод або підозр, але вони не можуть ігнорувати контрапрімери.

 Тета (В сторону). Здогадки, очевидно, сильно відрізняються від тих, хто їх представляє.

 Гамма. Я пропоную дуже простий контрапрімер. Візьмемо тріангуляціонную мережу, яка вийшла після проведення на кубі двох перших операцій (див. рис. 2). Тепер, якщо я видалю трикутник зсередини цієї мережі, як можна вийняти шматок з головоломки, то я виймаю тільки один трикутник без видалення яких-небудь ребер або вершин. Таким чином, третя лема невірна - і не тільки у випадку куба, але для всіх багатогранників, крім тетраедра, для якого в плоскій мережі все трикутники будуть граничними. Таким чином, ваше доказ доводить теорему Ейлера для тетраедра. Але ж ми вже й так знали, що для тетраедра V - Е + F = 2, так навіщо ж це доводити?

 Учитель. Ви праві. Але зауважте, що куб, який представляє контрапрімер для третьої леми, що не буде контрапрімером для основної здогади, так як для куба V - Е + F = 2. Ви показали, що аргументація докази має недолік, але це не означає, що наша здогадка помилкова.

 Альфа. Так, ви тепер знімете c витті доказ?

 Учитель. Ні. Критика не завжди буде необхідно руйнуванням. Я просто виправлю моє доказ, щоб воно встояло проти цієї критики.

 Гамма. Як?

 Учитель. Перш ніж показати «як», давайте введемо таку термінологію. Локальним контрапрімером я буду називати приклад, який відкидає лемму (невідкидаючи необхідно основну здогад), а глобальним контрапрімером я назву приклад, який відкидає саму здогадку. Таким чином, ваш контрапрімер буде локальним, але не глобальним. Локальний, але не глобальний контрапрімер представляє критику тільки докази, але не здогадки.

 Гамма. Значить, здогад може бути вірною, але ваше доказ її доводить.

 Учитель. Але я легко можу переробити, поліпшити доказ, замінивши невірну лемму злегка виправленої, яку ваш контрапрімер не зможе спростувати. Я не буду сперечатися, що при вийманні будь-якого трикутника виходять тільки дві згадані можливості, але скажу тільки, що на кожній стадії процесу виймання одного з граничних трикутників може зустрітися одна зі згаданих можливостей. Повертаючись до мого уявному експерименту, я повинен тільки в описі мого третього кроку додати одне слово, а саме, що «тепер з тріангулірованной мережі ми віднімаємо один за іншим граничні трикутники». Ви погодитеся, що для приведення в порядок докази знадобилося тільки невелике зауваження?  [19]

 Гамма. Не думаю, щоб ваше зауваження було таким дріб'язковим; воно, звичайно, дуже дотепно. Щоб з'ясувати це, я покажу, що воно невірно. Візьмемо знову плоску мережу для куба і віднімемо вісім з десяти трикутників в послідовності, вказаної на рис. 4. При вийманні восьмого трикутника, який, звичайно, буде тоді граничним, ми відняли два ребра і жодної вершини, а це змінить V - Е + F на 1. І ми залишилися з двома окремими трикутниками 9 і 10.

 Учитель. Ну, я міг би врятувати обличчя, сказавши, що під граничним трикутником я мав на увазі такий, виймання якого не порушує зв'язності мережі. Але інтелектуальна чесність перешкоджає мені приховано змінювати мої положення словами, що починаються з «я думав»; тому я вважаю, що другу версію операції виймання трикутників я повинен замінити третій, а саме, що виймаються трикутники один за іншим таким чином, щоб V - Е + F не змінювався.

 Каппа. Охоче ??погоджуся, що відповідна такої операції лема буде істинною: звичайно, якщо ми виймаємо трикутники один за іншим, так, щоб V - Е + F не змінювалося, то V - Е + F не змінюватиметься.

 Учитель. Ні. Лемма полягає в тому, що трикутники в нашій мережі можуть бути перенумеровані так, що при вийманні їх у правильній послідовності V - Е + F не змінюватиметься, поки ми не досягнемо останнього трикутника.

 Каппа. Але як же побудувати цю правильну послідовність, якщо вона взагалі існує?  [20] Ваш початковий уявний експеримент давав інструкцію: виймайте трикутники в будь-якому порядку. А тепер ви говорите, що ми повинні слідувати деякого певного порядку, але не говорите, який це порядок і чи існує він насправді. Таким чином, ваш уявний експеримент розвалюється. Ви виправили аналіз докази, тобто список лем, але уявний експеримент, який ви назвали «доказом», зник.

 Ро. Зник лише третій крок.

 Каппа. Крім того, поліпшили ви лемму? Ваші перші дві версії принаймні до їх спростування здавалися тривіально простими, а ваша довга латана версія навіть не здається очевидною. Чи можете ви вірити, що вона уникне спростування?

 Учитель. «Очевидні» або навіть «тривіально прості» пропозиції зазвичай скоро відкидаються: Софістичні, неочевидні припущення, дозрілі після критицизму, можуть виявитися справжніми.

 Омега. А що трапиться, якщо й ваші «Софістичні припущення» виявляться помилковими і ми не зможемо замінити їх Неложними? Або якщо вам не вдасться поліпшити локальними латками ваші аргументи? За допомогою заміни відкинутої леми вам вдалося впоратися з локальним контрапрімером, не бувшим глобальним. А що якщо наступного разу вам це не вдасться?

 Учитель. Питання гарний - поставимо його завтра до порядку денного. 

 [1] Див Черч (Church) (1956), 1, стор 76-77. Також у Пеано (1894), стор 49 і у Уайтхеда - Рассела (1910-1913), 1, стор 12. Це інтегральна частина евклідової програми, формульованої Паскалем (1657-1658), порівн. Лакатос (1962), стор 158.

 [2] Ситуаційна логіка - що належить, мабуть, Попперу малопоширений термін, що позначає логіку продуктивну, логіку математичного творчості. - Прим. пер.

 [3] Подробиці і аналогічні посилання см. в бібліографічному списку в кінці статті.

 [4] Б. Рассел (В. Russel, 1901). Ця робота була передрукована як 5-я глава праці Рассела (1918) під заголовком «Математика і метафізика». У виданні «Пінгвіна» (1953) цитату можна знайти на стор 74. У передмові до праці (1918) Рассел каже про цю роботу: «Тон цього нарису частково пояснюється тим, що видавець просив мене зробити його" наскільки можливо романтичним "».

 [5] Згідно Тюркетту (Turquette), положення Геделя не мають сенсу (1950), стор 129. Тюркетт сперечається з Копальні (Copi), який вважає, що, оскільки ці положення є «апріорними істинами», але не аналітичними, то вони спростовують аналітичну теорію апріорність (1949) і (1950). Ніхто з них не помічає, що особливий статус положень Геделя з цієї точки зору полягає в тому, що ці теореми є теоремами неформальній змістовної математики і що насправді вони обидва обговорюють статус неформальної математики в окремому випадку. Вони також не помічають, що теорії неформальній математики безумовно є здогадками, які з точки зору догматист навряд чи можливо розділити на здогади a priori і a posteriori.

 [6] Polya (1945), особливо стр. 102 і також (1954), (1962а); Bernays (1947), особливо стр. 187.

 [7] Popper (1934), потім (1945), особливо стр. 90 у четвертому виданні (1962, стор 97), а також (1957), стор 147 і сл.

 [8] Це можна ілюструвати роботами Тарського (1930а) і (1930 b). У першій статті Тарський користується терміном «дедуктивні науки» явно як стенографічним виразом для «формалізованих дедуктивних наук». Він каже: «Формалізовані дедуктивні дисципліни складають поле досліджень метаматематики приблизно в тому ж сенсі, як просторові сутності становлять поле досліджень для геометрії». Цією розумною формулюванні надається занятний імперіалістичний ухил в другій статті. «Дедуктивні дисципліни складають предмет (subjectmatter) методології дедуктивних наук приблизно в такому ж сенсі, в якому просторові сутності становлять предмет геометрії, а тварини - зоології. Природно, не всі дедуктивні дисципліни представляються у формі, придатній для об'єктів наукового дослідження. Невідповідними будуть, наприклад, такі, які не спираються на певний логічний базис, не мають точних правил виводу (inference) і в яких теореми формулюються в звичайних двозначних і неточних термінах розмовної мови - одним словом, ті, які не формалізовані. Метаматематичних дослідження, таким чином, зводяться до розгляду лише формалізованих дедуктивних дисциплін ». Нововведенням є те, що в першій формулюванні встановлюється, що предметом метаматематики є формалізовані дедуктивні дисципліни, в той час як друга каже, що предмет метаматематики зводиться до формалізованих дедуктивним дисциплін лише з тієї причини, що неформалізовані дедуктивні дисципліни взагалі не є підходящим предметом наукового дослідження. Це передбачає, що передісторія формалізованої дисципліни не може бути предметом наукового дослідження, в той час як, навпаки, передісторія зоологічного виду цілком може бути предметом наукової теорії еволюції. Ніхто не буде сумніватися, що до деяких проблем, що стосуються математичної теорії, можна підійти тільки після того, як вони будуть формалізовані, абсолютно так само, як деякі проблеми щодо людських істот (наприклад, що стосуються їх анатомії) можуть бути ізучаема тільки після їх смерті. Але на цій підставі не багато хто будуть стверджувати, що людські істоти будуть «придатні для наукового дослідження», тільки коли вони «подаються в мертвому вигляді», і що, отже, біологічні дослідження зводяться до вивчення мертвих людських істот, хоча я не був би здивований , якби який-небудь ентузіаст - учень Везалия в славні дні ранньої анатомії, коли з'явилися нові потужні методи диссекции, ототожнив біологію з аналізом мертвих тіл.

У передмові до роботи (1941) Тарський підкреслює своє заперечення можливості небудь методології, відмінної від формальних систем: «Курс методології емпіричних павук ... повинен головним чином складатися з оцінок і критик скромних спроб і безуспішних зусиль ». Причина полягає в тому, що, оскільки Тарський визначає наукову теорію «як систему підібраних тверджень, розташованих відповідно до деякими правилами» (там же), то емпіричні науки не є науками.

 [9] Одне з найбільш небезпечних помилок прихильників формалістской філософії полягає в тому, що (1) вони намагаються встановити що-небудь (цілком правильно) щодо формальних систем; (2) потім сказати, що це може бути застосовано і до «математики» - це буде знову правильно, якщо ми приймемо ототожнення математики з формальними системами; (3) нарешті, з прихованим зміною сенсу, використовувати термін «математика» в звичайному сенсі. Так, Куайн говорить (1951, стор 87), що «це відображає характерну для математики ситуацію; математик наштовхується на свій доказ за допомогою некерованої інтуїції і" щастя ", а потім інші математики можуть перевірити його" доказ "». Але перевірка звичайного докази часто представляє дуже делікатне підприємство, і, щоб напасти на «помилку», потрібно стільки ж інтуїції і щастя, скільки і для того, щоб натрапити на доказ; відкриття «помилок» у неформальних доказах іноді може зажадати десятиліть, якщо не сторіч.

 [10] Пуанкаре і Полья пропонують «основний біологічний закон» Геккеля щодо онтогенезу, який повторює філогенез, застосовувати також і до розумового розвитку, зокрема, до математичного розумовому розвитку [Пуанкаре (1908), стор 135 і Полья (1962 b)]. Цитуємо Пуанкаре: «Зоологи стверджують, що ембріональний розвиток тваринного повторює всю історію його предків протягом геологічного часу. Мабуть, те ж відбувається і в розвитку розуму ... З цієї причини історія науки повинна бути нашим першим керівником ».

 [11] З приводу дискусії щодо ролі математики в догматики-скептичному суперечці див. мою роботу (1962).

 [12] Вперше відмічено Ейлером (1750). Первісною його завданням було дати класифікацію багатогранників. На труднощі цього було зазначено у висновку видавця: «У той час як у плоскій геометрії багатокутники (figurae rectilineae) легко можуть бути класифіковані за кількістю сторін, яке, звичайно, завжди буде дорівнює числу кутів, в стереометрії класифікація багатогранників (corpora hedris planis inclusa) являє собою значно більш важке завдання, бо тільки одне число граней недостатньо для цієї мети ». Ключем до отриманого Ейлером результату було якраз введення понять вершини і ребра; він перший вказав на те, що окрім числа граней число точок і ліній на поверхні багатогранника визначає його (топологічний) характер. Цікаво відзначити, що, з одного боку, він дуже хотів підкреслити новизну його концептуальної основи і що йому довелося винайти термін «acies» (ребро) замість старого «latus» (сторона), так як «latus» було поняттям, що належать до багатокутників, тоді як йому потрібно було ввести поняття, що відноситься до многогранників, з іншого боку, він все ж утримав термін «angu1 us sо1 idus» (тілесний кут) для подібних точці вершин. З недавнього часу стали вважати, що пріоритет у цій справі належить Декарту. Підставою цього домагання є рукопис Декарта (бл. 1639), скопійована з оригіналу Лейбніцем в Парижі в 1675-1676 рр.. і знову відкрита і опублікована Foucher de Careil в 1860 р. Проте пріоритет Декарту віддати не можна. Вірно, що Декарт встановлює, що число плоских кутів дорівнює 2 j +2 a-4, де j позначає в нього число граней, а a - число тілесних кутів. Також вірно те, що він встановлює, що плоских кутів вдвічі більше, ніж ребер (latera). Просте поєднання двох цих положень, звичайно, дасть формулу Ейлера. Але Декарт не бачив потреби зробити це, тому що він все ж мислив в термінах кутів (плоских і тілесних) і граней і не зробив свідомого революційного зміни, а саме: не ввів поняття нуль-мірних вершин, одновимірних ребер і двовимірних граней в якості необхідного і достатньої підстави для повної топологічної характеристики багатогранників.

 [13] Ейлер перевірив свою здогадку достатньо вичерпним чином. Він випробував її на призмах, пірамідах і т. д. Він міг би додати, що існування тільки п'яти правильних тіл теж є наслідком його здогади. Інша підозрювана наслідок представляє недоведене досі пропозицію, що чотирьох кольорів цілком достатньо для розфарбовування карти.

Фази здогадки і випробування у разі V-E + F = 2 розібрані Полья (1954), т. 1 (перші п'ять відділів третього розділу, стор 35-41). Полья зупинився тут і не розібрав фази докази, хоча, звичайно, він вказав на необхідність для евристики «завдань для доказу». Наше міркування починається там, де Polya зупиняється.

 [14] Так думав Ейлер в 1750 р. (стор. 119 і 124). Але пізніше (1751) він запропонував доказ.

 [15] Ідея цього докази сходить до Коші (1811).

 [16] Думка Дельти, що це доказ встановило «теорему», поза всяким сумнівом, поділялося багатьма математиками XIX в., Наприклад Crelle (Crelle, 1826-1827), т. II, стор 668 - 671, Маттісеп (Matthiesen, 1863), стр . 449, Жонкьер (Jonquieres, 1890а і 1890 b). Варто навести характерний пасаж: «Після докази Коші стало абсолютно безсумнівним, що витончене співвідношення V - Е + F = 2 застосовно до многогранників любога виду, як і встановив Ейлер 1752 р. У 1811 р. вся нерішучість повинна була зникнути» [Жонкьер ( 1890), стор 111-112].

 [17] Цей клас, мабуть, дуже передовій. Для Коші, Пуансо і багатьох інших прекрасних математиків XIX в. ці питання не існували.

 [18] Уявний експеримент (deiknymi) був найбільш давнім чином математичного докази. Він переважав у доевклідовой грецькій математиці [см. Шабо (A. Szabo, 1958)].

Те, що в евристичному порядку здогадки (або теореми) передують доказам, було загальним місцем у стародавніх математиків. Це випливає з евристичного передування «аналізу» «синтезу» [см. прекрасний розбір у Робінсона (Robin son, 1936)]. За Проклу - «необхідно спочатку знати, що шукаєш» [Хізс (Heath, 1925, т. 1, стор 129)]. «Вони говорили, що теорема представляє те, що запропоновано з наміром довести цю пропозицію», - говорить Папп (там же, т. 1,10). Греки не думали багато про пропозиції, на які вони випадково натрапляли по ходу дедукції, якщо тільки попередньо про них не здогадувалися. Вони називали Порізми - наслідками - ті побічні результати, які виходили з доведення теореми або рішення задачі, результати яких вони безпосередньо не шукали; ці Порізми з'являлися в такому вигляді випадково, без яких-небудь додаткових праць, і представляли, як каже Прокл, щось на зразок плода, збитого вітром (ermaion) або премії (kerdos) (Там же, стор 278). У видавничому післямові до Ейлера (1753) ми читаємо, що арифметичні теореми «бували відкриті задовго до того, як їх істинність була підтверджена строгим доказом». Як Ейлер, так і видавець для цього процесу відкриття вживають новітній термін «індукція» замість стародавнього «analysis». Евристичне передування результату перед аргументацією або теореми перед доказом глибоко вкоренилося в математичному фольклорі. Наведемо декілька варіацій на знайому тему: кажуть, що Хрізіпп написав Клеанфа: «Прийшли тільки мені теореми і тоді я знайду докази» [Діоген Лаерцій (бл. 200), VII, 179], Кажуть, що Гаусс скаржився: «Я вже давно мав мої результати, але я ще не знаю, як мені до них прийти »[см. Арбер (А rber, 1954), стор 77)] і Ріман: «Якби я тільки мав теореми! Тоді я зміг би досить легко знайти докази »[Див Гельдер (Holder, 1924), стр. 487]. Полья підкреслює: «Ви повинні вгадати математичну теорему, перш ніж ви її доведете» [(1954), т. 1, стор VI].

Термін «квазі-експеримент» узятий з вищезазначеного видавничого післямови до Ейлера (1753). Видавець пише: «Оскільки ми повинні віднести числа до області одного лише чистого інтелекту, то нам важко зрозуміти, яким чином спостереження і квазі-експерименти можуть бути корисними при дослідженні природи чисел. Як я покажу тут за допомогою дуже хороших доводів, відомі в даний час властивості чисел дійсно були здебільшого відкриті наглядом ... ». Полья помилково приписує цю цитату самому Ейлера (1954, т. 1, стор 3).

 [19] Люілье (Lhuilier), виправляючи подібним чином доказ Ейлера, сказав, що він робить тільки «невелике зауваження» (1812-1813, стор 179). Однак сам Ейлер, помітивши неув'язку, від здавався від докази, а цього «невеликого зауваження» не зробив.

 [20] Коші думав, що для знаходження на кожній стадії трикутника, який може бути вийнятий з усуненням або двох ребер з вершиною, або лише одного ребра, можна дати дуже просту інструкцію для будь-якого багатогранника (1811, стор 79). Це, звичайно, пов'язано з нездатністю уявити багатогранник, який не був би гомеоморфними зі сферою.

 Зміст  Далі

наверх

psm.in.ua

     © psm.in.ua - підручники, статті та монографії
енциклопедія  флотський  пломбір  зелені  запіканка