женские трусы больших размеров
Medical site

На головну

АвторАфанасьєва В.В.
НазваДо філософського обгрунтування детермінованого хаосу
Рік видання 2005

Введення

З часу створення ньютонівської динаміки пройшло більше трьохсот років. За цей час класична динаміка стала однією з найбільш непорушних наук, лише одного разу, на початку двадцятого столетья, похитнувшись під ударом теорії відносності, але тут же повернувшись в стійкий стан рівноваги. І хто б міг подумати, що наприкінці тисячоліття по ній знову буде завдано сильний удар! З'ясувалося, що якщо рівняння динаміки тієї чи іншої системи нелінійні, то система, за відсутності всяких випадкових впливів, всупереч детермінованим рівнянням, які повинні однозначно визначати її рух в будь-який момент часу, може поводитися неупорядоченно, непередбачувано, хаотично. Спочатку в це насилу вірили, намагаючись списати це на помилки численних експериментів, потім зайнялися масовим пошуком хаотичних режимів у найрізноманітніших системах, потім стали будувати теоретичні обгрунтування подібних явищ. Приблизно в цей же час в нелінійних системах було виявлено явище самоорганізації, теж опинилося універсальним. У результаті кінець двадцятого століття ознаменувався швидким розвитком двох дуже близьких наук: теорії динамічного хаосу і синергетики. Перший етап їх становлення, етап накопичення теоретичних і експериментальних результатів, вже закінчився. Настав час "зупинитися й озирнутися", більш глибоко осмислити наявний матеріал, визначити місце нових наук і відкритих ними феноменів у системі загальнонаукового та філософського знання. Безумовно, знову відкриті явища динамічного хаосу та самоорганізації вимагають філософського осмислення, тому що вводять в науку цілий ряд нових, вельми загальних понять, ламають звичні уявлення про русі і розвитку самих різних систем, народжують цілу систему загальнонаукових поглядів, наповнюють новим змістом деякі загальнонаукові і філософські категорії і закони. Концепція динамічного хаосу та самоорганізації, подібно квантовій механіці і теорії відносності початку двадцятого століття, наприкінці сторіччя стала новою загальнонаукової парадигмою. Якісна теорія динамічних систем, або нелінійна динаміка, що лягли в основу цих двох концепцій, створила спеціальний математичний апарат і новий нелінійний мову, змінила панівне до цього в науці лінійне світогляд, замінивши його нелінійним, придбала величезний коло наукових прихильників, навіть створила цілі наукові школи, породила значні технічні нововведення. На відміну від колишніх, ця нова парадигма охопила не тільки фізику, а й багато інших наук, ставши по-справжньому загальнонаукової. Звичайно, нова загальнонаукова парадигма повинна змінити якоюсь мірою і реальний світ, але це, мабуть, попереду. У всякому разі, явище детермінованого хаосу вже дало нові важливі інженерні ідеї, призвела до створення на їх основі пристроїв, вже використовуваних на практиці.

Етап філософського осмислення результатів теорії динамічного хаосу і синергетики ще тільки почався, він вимагає спільних зусиль математиків, фізиків, філософів. З приводу загальнонаукового та філософського значення цих результатів, мабуть, ще довго будуть звучати суперечки, як свого часу це сталося з теорією відносності та квантової механікою. Однак початок цьому вже покладено, насамперед роботами І. Пригожина, а також роботами філософів московської школи [1-4]. У даний роботі робиться спроба осмислити вже наявні результати досліджень детермінованих хаотичних явищ з філософської точки зору. На думку автора, при фізичному дослідженні хаотичних явищ природним чином виникають такі основні питання, над якими слід задуматися при філософському обгрунтуванні концепції детермінованого хаосу:

  1. Які нові математичні та фізичні поняття, що виникли разом з концепцією динамічного хаосу, в даний час слід визнати загальнонауковими категоріями і дати їм філософську інтерпретацію?
  2. Чи допускає хаос як якісна категорія адекватне кількісний опис? Чи задовольняють існуючі якісні та кількісні критерії хаосу вимогам істинності? Чи є вони відносними або абсолютними?
  3. Чи можливо узгодження критеріїв виникнення хаосу для систем різних класів, наприклад дисипативних і гамільтонових, класичних і квантових?
  4. У чому відмінності детермінованого хаосу від хаотичних рухів великого ансамблю частинок (так званого "істинного" хаосу або "шуму")? Чи є ці відмінності істотними? Чи можна використовувати єдину категорію "хаос", що описує хаотичні рухи обох видів?
  5. Чи є хаотична поведінка систем перешкодою для пізнаваності фізичних явищ? Як змінюються уявлення про детермінізм у зв'язку з відкриттям детермінованого хаосу?
  6. Яке співвідношення категорій "порядок" і "хаос"? Як дозволяється "парадокс упорядкованого хаосу"? Чи є "порядок" і "хаос" двома невід'ємними якостями всіх явищ і процесів?
  7. Яке співвідношення категорій "симетрія" і "хаос"? Чи можна вважати поняття "симетрія" і "хаос" двома основними категоріями сучасної фізики?
  8. Які закони розвитку систем з хаотичною динамікою? Чи підтверджуються для систем з детермінованим хаотичним поведінкою закони діалектики або має бути створена нова "нелінійна" діалектика, відповідна складним процесам розвитку?
  9. Яке співвідношення реальних і віртуальних рухів в динаміці нелінійних систем з хаотичним поведінкою? Чи можливі перетворення реальних рухів у віртуальні, і навпаки? Як змінюється при цьому співвідношення між категоріями "можливість" і "дійсність"?
  10. Чи повинні змінитися категорії "простір", "протяжність", "довжина" у зв'язку з відкриттям фракталів?
  11. Чи можливо поширення всіх законів хаотичної динаміки на соціальні системи?
  12. Що являє собою мову якісної теорії динамічних систем? Яка його роль у створенні нового наукового інформаційного простору.? Яка його зв'язок з процесом пізнання законів нелінійної динаміки? Чи є новий нелінійний мову саморозвивається системою?
  13. Який метафізичний погляд на детермінований хаос? Як влаштований світ ідеальних уявлень про складні і хаотичних рухах?
  14. Як співвідносяться реальні, віртуальні і потенційні руху з категоріями "буття" і "небуття"? Як з точки зору динаміки можуть розглядатися перетворення "небуття" в "буття", і навпаки?
  15. Який онтологічний сенс існування детермінованого хаосу?

Незважаючи на досить довгий список виникаючих питань, він далекий від повноти. Насправді, питань, які поставила перед сучасною наукою і філософією парадигма динамічного хаосу, набагато більше. Глибоке осмислення феноменів детермінованого хаосу та самоорганізації призводить до питань, які повинні вирішуватися теологією і богослов'ям. У цій роботі робиться спроба відповісти на деякі з сформульованих вище питань хоча б у першому наближенні.

У своїх філософських поглядах автор дотримується думки, що сучасні загальнонаукові парадигми не тільки потребують філософському осмисленні, а й самі можуть, у свою чергу, поповнити аннали філософії новим знанням. Зокрема, хаос як надскладне явище може "дати їжу" для онтології, а аналіз процесу його пізнання - для гносеології. Розглядаючи хаос як загальне, універсальне явище, автор припускає можливість його метафізичного опису, будучи прихильником "метафізики всеєдності" і тим самим у певному сенсі слідуючи російської філософської традиції, основи якої закладені в роботах В. Соловйова, П. Флоренського, С. Франка. Обговорення всіх філософських побудов ведеться з використанням прикладів хаотичного поведінки систем, раніше досліджених автором у його фізичних роботах, і прикладів поведінки соціальних систем. Такий підхід дозволяє викласти відповіді на перераховані вище питання в манері, звичної для широкого кола дослідників детермінованого хаосу і доступною для всіх, хто цікавиться даною проблемою.

1. Хаос: від інтуїтивних уявлень до математичного опису

Перш ніж перейти до пошуків відповідей на поставлені вище питання, спробуємо спочатку розібратися, що в сучасній науці розуміється під словом "хаос", і як це поняття сформувалося. Звернемося спочатку до історії розвитку уявлень про хаос в людській свідомості. Незважаючи на різні уявлення про хаос в різні часи і в різних областях людського знання, хаос, як правило, допускав тільки феноменологічний опис, тобто опис на основі якихось загальних уявлень та ідей, незалежно від фізичної природи описуваних систем, а спроби описати його в рамках якоїсь конкретної моделі приводили до того, що хаос зводитиме до великого числа регулярних рухів. Уявлення про хаос завжди мали дуже особистісну, суб'єктивну забарвлення, сильно змінюються з часом.

У стародавніх греків хаос ототожнювався з космогонічним поняттям "зіяющего" простору (від грец. Caskein - зяятиме), що існував раніше світобудови [5]. За вченням орфиков хаос виник з безначального часу, причому під хаосом розуміли глибоку безодню, в якій мешкали ніч і туман; під дією часу туман хаосу прийняв яйцеподібну форму, а потім розколовся, породивши небо і землю. Стоїки бачили в хаосі водну стихію (від грец. Cew - ллю), стан, що виникає після знищення землі вогнем. Хаос розумівся як безладне, але животворне начало, яке існувало до світобудови. Під хаосом розуміли повітряне та туманне світовий простір, поміщене між небом і землею. Довгий час це поняття, безумовно, було позитивно забарвлене.

Інтуїтивно під хаосом розуміли початковий стан світу, що дало початок основним сутностей. У стародавній космогонії породженнями хаосу вважалися Ніч, Ерот і Мойри. Ніч завжди вважалася уособленням простору, Ерот - уособленням любові, природи і народження, Мойри - уособленням трьох іпостасей долі: її спокійного і неухильного дії, її випадковостей, її невідворотності і необхідності, а також уособленням закономірності і порядку в світі зовнішніх і духовних явищ. Далі ми переконаємося, наскільки символічний цей міф, наскільки давні уявлення про народження порядку і життя з хаосу передбачили результати сучасної науки.

У давньосхідної філософії, зокрема, в даосизмі, хаос асоціювався зі структурами, вкладеними в структури, вихорами, вкладеними в вихори [6], тим самим хаосу приписувалася певна впорядкованість і дивним чином предвосхищались отримані лише в Наприкінці двадцятого столетья ідеї про фрактальної структурі динамічного хаосу.

З часом поняття хаосу трансформується, приймаючи все більш негативне забарвлення. Овідій у "Метаморфозах" описує хаос як "грубу безладну громаду, нерухому тяжкість, зібрані в одне місце різнорідні початку дурно з'єднаних стихій" [7]. Під хаосом стали розуміти наповнену мороком підземну безмежну безодню. Таке похмуре, негативне уявлення про хаос збереглося практично до наших днів.

На довгий час в людській свідомості хаос став синонімом абсолютного безладу, навіть руйнування. З ним пов'язували поняття абсолютно непередбачуваного, некерованого стану чи процесу, переважання випадку над порядком і розумом. Проте уявлення про хаос завжди залишалися двоїстим. Завжди поряд з безладом під ним малося на увазі і початок всіх початків, з якого згодом виникає упорядкований світ. Цікаво, що таке подання про хаос збереглося до цих пір. Сучасні західні енциклопедичні словники приводять два значення цього слова: 1) абсолютний безлад, 2) початкове нерозвинене стан Всесвіту [8].

За кілька тисячоліть поняття "хаос" виросло від деякого неясного, інтуїтивного уявлення до загальнонаукової категорії, а потім і до нової парадигми сучасної науки. У науці донедавна під хаосом розуміли стан системи, що характеризується повною відсутністю порядку, як просторового, так і тимчасового, причому поняття порядку було аксіоматичним, тобто не визначалася. У фізиці хаос став динамічним поняттям, трансформувавшись від хаосу конфігурацій до хаосу рухів. Це означає, що хаотично ті чи інші величини змінюються в часі, тобто ми маємо справу з хаотичними процесами розвитку різних фізичних систем.

Проблема дослідження та опису хаотичних рухів виникла в середині минулого століття в гідродинаміці, коли між теоретичною гідродинамікою з її рівняннями Нав'є - Стокса і прикладними завданнями про течії рідин і газів виник ряд протиріч. Першу спробу примирити класичну фізику з існуванням хаотичних рухів зробив Рейнольдс, ввівши своє знамените число і зв'язавши його великі значення з турбулентними, хаотичними а малі - з ламінарними, впорядкованими течіями рідин [9]. На початку двадцятого століття для опису хаотичних, випадкових рухів великого ансамблю частинок, наприклад частинок газу, Больцманом, Гиббсом і Ейнштейном була створена спеціальна наука - статистична фізика. З тих пір істинно хаотичними процесами стали вважатися броунівський рух молекул і турбулентний плин рідин. У сучасній фізиці такі випадкові руху великого числа частинок прийнято називати стохастическими або "шумами".

При статистичному описі неможливим стає точне визначення положення і швидкості тієї чи іншої частинки, зате можна обчислити деякі середні значення, що описують поведінку всього ансамблю. Якщо слідкувати за однією молекулою газу або за елементарним об'ємом рідини в турбулентному потоці, то інформація про їх стан через деякий час практично зводиться до нуля. Однак можна отримати інформацію про середню швидкість молекул газу, щільності газу, температурі і т.д. У цьому випадку в розглянутому обсязі газу присутні частинки з дуже різними швидкостями, що займають самі різні положення в просторі. З існуванням подібних рухів, передбачуваних лише в середньому і непередбачуваних для кожної конкретної частинки, класична фізика, завжди намагалася визначати все точно, змирилася, по-перше, тому що точний опис кожної окремої частки у великому ансамблі надзвичайно складно, по-друге, тому що воно, як правило, нікого не цікавить.

З часу створення статистичної фізики передбачалося, що хаотичні, випадкові, непередбачувані стану (руху) неминуче пов'язані з ростом числа ступенів свободи системи, введенням випадкових початкових умов або дією випадкових сил. Рух же систем з малим числом ступенів свободи, "простих" систем, мало на увазі абсолютно точний опис і було цілком визначено механікою Ньютона [10]. Справедливості заради слід зауважити, що невпорядковані руху детермінованих систем з малим числом ступенів свободи у фізиці все-таки зустрічалися, вони були відомі ще Лагранжу і Пуанкаре [11], які зіткнулися з ними при вивченні динаміки трьох небесних тіл. Пуанкаре писав: "... картина ця настільки вражає, що я навіть не беруся описати її." Подібні стани були відомі і Біркгоф. На початку двадцятого століття Ван дер Поль повідомляв про нерегулярні режимах роботи найпростішого електронного генератора [12], що згодом став основною моделлю автоколебаний. Однак такі стани розглядалися як рідко зустрічаються, особливі, що вимагають окремого опису.

Нові досягнення сучасної науки, в першу чергу фізики, змусили відмовитися від цих припущень як від надмірно спрощують дійсність. Відкриття явища динамічного хаосу показало, що хаотичні стани нелінійних систем самої різної природи не тільки не є чимось незвичайним, екзотичним, але, навпаки, повинні розглядатися як закономірні і за певних умов навіть неминучі. Вперше поняття "хаос" стало поруч з поняттям "закон". Усвідомлення того факту, що хаотична динаміка притаманна практично всім нелінійним фізичним системам стало революцією в сучасному природознавстві.

Відразу відзначимо, що фізика продовжує чітко розрізняти хаотичні рухи в системах з порівняно невеликим числом ступенів свободи і стохастичні руху у великому ансамблі частинок. У цій книзі мова піде саме про перші, крім деяких випадків, які будуть особливо обумовлені.

У чому ж полягає явище динамічного хаосу? Воно полягає у виникненні невпорядкованих рухів в абсолютно детермінованих системах, тобто в системах, описуваних динамічними рівняннями, на які не діють ніякі випадкові зовнішні сили. Було з'ясовано, що в нелінійних системах з малим числом ступенів свободи, які вважалися добре вивченими (наприклад, в осцилляторах), при певних значеннях параметрів (наприклад, амплітуди зовнішнього впливу або дисипації) виникають складні непередбачувані руху, статистичні характеристики яких практично не відрізняються від статистичних характеристик випадкових рухів. Пояснимо це на простому прикладі. Важко уявити собі систему, рухому більш впорядковано, ніж звичайний часовий маятник, його коливання абсолютно регулярні, володіють суворим періодом, описуються такими відомими функціями як синус або косинус. Однак це нелінійна система, і привівши маятник в нелінійний режим, наприклад, збільшивши амплітуду його коливань, ми з подивом виявимо, що траєкторія його руху надзвичайно ускладнилася. Коливання припинять бути симетричними, відхилення вправо і вліво відрізнятимуться. Якщо ми будемо і далі збільшувати амплітуду коливань, то порушиться і періодичність коливань, траєкторія буде зовсім нерегулярної. Задаючи ті чи інші початкові умови, ми не зможемо сказати заздалегідь, яка саме траєкторія буде їм відповідати. Якщо ми захочемо описати такий рух математично, то ми зіткнемося з досить-таки складним завданням: з'ясується, що коливання такого виду не описує відомими нам функціями. Зате ми зможемо описати такий рух статистично, подібно випадковим рухам у великому ансамблі. Саме такі нерегулярні режими, що спостерігаються в досить простих (тобто з малим числом ступенів свободи) детермінованих нелінійних системах при зміні їх параметрів, і отримали назву динамічного, або детермінованого хаосу. Підкреслимо, що такі режими спостерігаються саме в нелінійних системах. Наявність нелінійності, яка по суті справи представляє собою міру складності динаміки системи, для існування подібного виду режимів є принциповим. Математично це відповідає тому, що в рівнянні динаміки нелінійної системи присутні деякі досить складні функції обумовленою змінної, наприклад, статечні, а фізично це означає рух в поле, напруженість якого залежить хоча б від квадрата координати. Теоретично детерміновані хаотичні режими можуть спостерігатися в будь-якій системі з досить великою нелінійністю. Грубо кажучи, чим більше нелінійність системи, тим складніше її рух і тим імовірніше хаотичні режими. Однозначної відповіді на питання, чому рух тієї чи іншої системи при тих чи інших її параметрах стає хаотичним немає досі. Просто слід звикнутися з думкою, що встановилось хаотичний рух внутрішньо властиво багатьом системам і визначається їх власної складною динамікою, законами їх розвитку. У цьому сенсі нелінійні системи з детермінованим хаотичним поведінкою є "автогенераторами" шуму, вони "народжують" хаос. "Механізм" хаотизації динаміки подібних систем надзвичайно складний, він заснований на спільній дії нелінійності і нестійкості, про що докладніше буде сказано нижче.

У 1963 році справжньою сенсацією, що поклала початок дослідному буму, стало відкриття складної поведінки порівняно простий динамічної системи, яка описує теплову трехмодовую конвекцію атмосфери. Це відкриття випадково зробив в Массачусетському технологічному інституті Е. Лоренц, фахівець з фізики атмосфери [13]. Модельна система Лоренца була отримана в результаті деяких спрощень з рівнянь Нав'є - Стокса і згодом досліджувалася в сотнях робіт, ставши до теперішнього часу однією з найвідоміших моделей хаосу. Нерегулярні коливання, що спостерігаються в моделі Лоренца, і аналогічні їм отримали назву динамічного або детермінованого хаосу. Динамічними або детермінованими такі хаотичні режими були названі тому, що вони виникають у системах, описуваних звичайними динамічними рівняннями, вирішення яких однозначно визначено початковими умовами. У 1970 році Рюель і Такенса ввели поняття "дивного аттрактора", що став математичним чином детермінованих хаотичних коливань [14]. Справжньою популярністю у вчених проблема динамічного хаосу стала користуватися після того, як у середині сімдесятих років поняття "дивний аттрактор" було пов'язане з моделлю Лоренца, і з'явилися надії описати за допомогою дивного аттрактора таке "істинно" хаотичний рух як турбулентність.

В даний час проблема детермінованого хаосу пов'язує такі науки, як астрономія, радіофізика, фізика твердого тіла, біофізика, біологія, хімічна кінетика, економіка, екологія, медицина і т.д. Зараз вже важко уявити хоч скільки відому нелінійну систему, в якій не знайдені хаотичні режими. Явище динамічного хаосу виявлено в гідродинамічних, оптичних. електронних, космологічних, метеорологічних, біофізичних, хімічних, екологічних, економічних і навіть соціологічних моделях. Різницю в просторових і часових масштабах систем з динамічним хаосом важко собі навіть уявити. Хаотичні коливання в деяких електронних системах відбуваються на частотах порядку 10 12 гц [15, 16], людське серце хаотично коливається на частотах порядку одиниці герца [17], а магнітні полюси Землі хаотично змінюють свою полярність з частотою 10 -12 Гц [18]. Хаос спостерігається при русі світил, планет і величезних хмар міжзоряного газу, в коливаннях звичайного маятника [19, 20], при русі атома в поле кристалічної решітки [21], у квантових системах [22]. Світ виявився набагато більш хаотичним, ніж це уявлялося зовсім недавно.

Всі ці дослідження дали величезне число найрізноманітніших результатів, абсолютно змінили сформовані уявлення про хаос. Виявилося, наприклад, невірні що уявлення про хаос як про абсолютно безладному стані, позбавленому всякої структури. Хаос може бути різним, володіючи різним ступенем впорядкованості. Для хаотичних систем отримані універсальні закони подібності, введені кількісні заходи хаотичності систем. Хаотичні рухи теж розвиваються за певними законами, в одній і тій же системі може існувати ціла ієрархія хаотичних рухів, що змінюють один одного в певній послідовності і відрізняються один від одного своїми характеристиками. У динамічних системах хаотичні рухи виникають з регулярних при зміні параметрів, підкоряючись певним закономірностям, і можуть зникати, знову перетворюючись на періодичні. У багатьох нелінійних динамічних системах хаотичні рухи є переважаючими, зустрічаються в більш широкій області параметрів, ніж регулярні ("острівці регулярності в море хаотичності").

Виникає питання, чому хаотична динаміка нелінійних систем стала предметом ретельного вивчення порівняно пізно, чому детермінований хаос не виявлено в експериментах раніше, якщо він так поширений? Мабуть, вся справа в тому, що цілі покоління вчених виховувалися в дусі лінійного світогляду, що грунтувалося на ідеях лінійної математики і на тривалій відсутності методів вирішення нелінійних рівнянь. Тому при постановці практично всіх динамічних задач відразу передбачався пошук тільки лінійних рішень як єдино можливих. Крім того, рішення нелінійних рівнянь в широкій області параметрів стало можливим тільки після появи потужних комп'ютерів, тобто з середини шістдесятих років. І навіть після відкриття хаотичних рухів в моделі атмосферної конвекції тільки особиста наполегливість і переконаність що виявив це явище Е. Лоренца змусила вчених відмовитися від думки, що такі рухи є помилками комп'ютерного моделювання і зайнятися вивченням хаотичної динаміки. Лінійні стереотипи здають свої позиції з великим опором.

Вимагає відповіді і інше питання. Яке практичне застосування знань про детермінованому хаосі, чи можна це явище якось використати? В даний час пошуки шляхів практичної реалізації результатів дослідження хаотичної динаміки ведуться, головним чином, у двох основних напрямках. По-перше, для тих чи інших цілей використовуються самі хаотичні режими. До останнього часу найбільш часто хаотичні детерміновані режими використовувалися при створенні радіофізичних та електронних генераторів шуму з керованими характеристиками, необхідних, наприклад, при створенні систем ракетного протидії [15,16]. Дещо пізніше з'ясувалося, що для багатьох технічних пристроїв в хаотичних режимах поліпшуються деякі енергетичні характеристики, наприклад, підвищується коефіцієнт корисної дії [23, 24]. Це теж вже використовується практично, хоча ще далеко недостатньо. Крім того, детерміновані хаотичні режими використовуються для медичної діагностики. По-друге, знання законів виникнення хаотичних режимів дозволяє позбавлятися від них, в тих випадках, коли вони небажані, це можна зробити, змінивши керуючі параметри. Безсумнівно, майбутнє принесе нові, може бути, несподівані застосування явища детермінованого хаосу.

Отже, наприкінці двадцятого сторіччя хаос став новою парадигмою сучасної науки, примиривши класичну і сучасну фізику і об'єднавши багато інших наук спільною ідеєю. На користь того, що концепція детермінованого хаосу стала новою загальнонаукової парадигмою, говорять наступні факти. По-перше, детермінований хаос виявився загальнонаукових явищем, був виявлений в найрізноманітніших системах. По-друге, концепція детермінованого хаосу привернула увагу величезної кількості фахівців різних областей знання, об'єднала зусилля безлічі вчених, створила широке коло прихильників, а також нові наукові напрямки та школи. По-третє, відкриття явища детермінованого хаосу призвело до незвичайним успіхам таких загальнонаукових дисциплін як теорія коливань і якісна теорія динамічних систем і створенню нового нелінійного мови, змінило вкорінене в науці лінійне і регулярне світогляд, створила новий нелінійний стиль мислення. По-четверте, введення уявлень про детермінованому хаосі, мабуть, дозволяє вирішити основні фізичні парадокси і ставить фізику перед необхідністю створити нову синтетичну теорію, що об'єднує класичну механіку і статистичну теорію.

Незважаючи на успіхи сучасної науки, визнати хаос добре вивченим, повністю відомим поняттям ще рано. Досить згадати, що на вивчення регулярних, періодичних рухів класичній механіці знадобилося більше трьох століть. Наука про динамічний хаосі далека від завершення. Наприклад, в даний час прийнято розділяти хаотичні режими, що виникають в системах з диссипацией, і хаотичні режими консервативних систем, так званий гамильтонов хаос. Така ж ситуація виникає при вивченні хаотичних рухів фізичних систем малої і великої розмірностей. Для цих видів хаотичних рухів введені різні описи, їх властивості різко відрізняються. Це означає, що проблема турбулентності, тобто проблема суворого опису хаотичних рухів в нескінченновимірної рідкому або газоподібному середовищі, далека від вирішення. Говорячи словами Роберта Фейнмана, "... з справжньою мокрою водою, тобто водою, бризжущей з крана, ми впоратися ще не в силах." [25]. Іншою серйозною проблемою є хаос в мікросвіті, квантовий хаос, концепція якого далека від завершення.

Однак теоретичних і експериментальних результатів дослідження хаотичної динаміки найрізноманітніших систем так багато, вони настільки дивовижні, універсальні і так змінили уявлення сучасної науки про динаміку та закони розвитку, що вимагають загальнонаукового та філософського аналізу.

 2. Зв'язок хаосу і нестійкості. Непередбачуваність в детермінованих систем ах  

Серед загальнонаукових і філософських питань, пов'язаних з проблемою детермінованого хаосу, найбільш дослідженим в даний час є питання про те, чому в детермінованих системах виникають непередбачувані руху. Вперше про існування непередбачуваних рухів у детермінованих системах написав Анрі Пуанкаре у своїй роботі "Наука і метод": "... іноді невелика різниця в первісному стані викликає велике розходження в остаточному явищі. Невелика похибка в першому викликала б величезну помилку в останньому. Передбачення стає неможливим ... "Детально цей же питання досліджувалося в роботах, присвячених обгрунтуванню статистичної фізики і класичної механіки, незалежно М. Борном і Н.С. Криловим [26 - 28]. Саме в цих роботах вперше була розглянута зв'язок непередбачуваності руху з його нестійкістю.

Справді, перше питання, яке виникає при вивченні явища детермінованого хаосу: звідки в системі, описуваної детермінованими рівняннями, існування та єдиність рішень якої гарантується відомої теоремою Коші, при малому числі ступенів свободи і відсутності випадкових сил виникають нерегулярні, непередбачувані руху? Не існує тут протиріччя, чи не є хаотичні рухи плодом наших помилок, нашого невміння вирішувати складні рівняння?

Крилов і Борн показали, що хаотичність руху детермінованих систем викликана нестійкістю всіх або майже всіх рухів таких систем. Нестійкість означає, що будь-яке, мала зміна початкового стану, може привести до як завгодно великої зміни руху. У всіх реальних системах початкові стану задаються з кінцевою, а не з нескінченною точністю, тобто за допомогою деякого безлічі, а не числа. При цьому більш пізні стану системи, в якій існує нестійкість, залежно від вибору початкових умов можуть мати різний вигляд через сильний відмінності незбуреної і обуреної траєкторій. У цьому випадку дослідник по виду вихідного руху не може прогнозувати рух цієї ж системи при інших, навіть дуже мало відрізняються початкових умовах. Стан системи стає непередбачуваним, незважаючи на повне знання закону руху.

При поясненні природи непередбачуваності динаміки нелінійних систем ось уже на протязі чверті століття посилаються саме на роботи Борна і Крилова. Вони настільки прості і красиві, що цілком задовольняють всіх при обговоренні цього питання, вони настільки еталонні, що їх не намагаються доповнити або поглибити. Незважаючи на величезне значення цих робіт для розуміння природи непередбачуваності руху взагалі, слід згадати, що вони написані до відкриття детермінованого хаосу, і мова в них йде про кілька інших ситуаціях. Пізніші результати дослідження нелінійної динаміки самих різних систем показали, що крім нестійкості хаотизація руху, а стало бути і його непередбачуваність, залежить і від ряду інших причин. Нижче ми покажемо, що непередбачуваність хаотичної динаміки тісно пов'язана з такими особливостями нелінійних систем, як мультістабільность і фрактальність кордонів басейнів тяжіння.

Все визначає нелінійність. Для того, щоб динаміка диссипативной системи стала хаотичної, тобто для того, щоб в її фазовому просторі виник дивний аттрактор, необхідно, щоб фазові траєкторії не тільки були нестійкими, а й залишалися в обмеженій області фазового простору. Це забезпечує саме нелінійність. Саме нелінійність є тим обмежувачем, яка не дає фазовим траєкторіях "тікати" на нескінченність. Щоб усвідомити це, згадавши відому багатьом картину лінійного резонансу: резонансна крива виявляється незамкненою і асимптотично йде на нескінченність в околиці резонансної частоти. Теоретично амплітуда лінійних коливань у разі резонансу повинна ставати нескінченно великою. Уявімо собі дерево, розгойдуватися вітром. Якщо частота поривів вітру співпаде з власною частотою коливань дерева, останнє, згідно лінійної теорії, неминуче зламається, навіть якщо сила вітру невелика. Насправді дерева ламаються тільки при дуже сильному вітрі, тому що природа забезпечила всі свої творіння тим же самим обмежувачем - нелінійністю. Теорія лінійного резонансу, така проста і струнка, насправді не описує реальних ситуацій. В черговий раз стає зрозумілим, чому хаотичні режими в простих системах були виявлені порівняно недавно. Принципові труднощі, що стоять на шляху вирішення будь-якого нелінійного рівняння і недосконалість математичних методів, як правило, змушувало дослідників зводити складні нелінійні рівняння до простих і красивим лінійним, тобто проводити їх линеаризацию. Методи рішення лінійних рівнянь добре вивчені і дозволяють легко отримати рішення, які є регулярними і повністю передбачуваними. Однак, неправильно користуючись цим методом, можна "з водою виплеснути й дитини" - лінеаризація допустима при малих значеннях параметрів системи і повністю змінює характер руху при великих. В результаті дерево може зламати навіть легкий вітерець. З цієї точки зору нелінійні фізичні системи в рамках аналітичних методів повинні вивчатися і вивчалися лише при малих значеннях параметрів, коли лінеаризація правомірна. Лише успіхи комп'ютерної технології дозволили вирішувати складні нелінійні рівняння в широкій області параметрів і відразу виявили хаотичні режими, які, як з'ясувалося, у багатьох системах зустрічаються частіше, ніж періодичні.

Успіхи нелінійної теорії коливань дозволяють доповнити і дещо видозмінити уявлення Борна і Крилова щодо ролі нестійкості в хаотизації руху. Борн і Крилов розглядали квазілінійного режими і досліджували так званий "пучок" траєкторій, реалізація яких залежить від вибору початкових умов. Їх пояснення непередбачуваності схематично можна записати у вигляді такої формули:  непередбачуваність = нестійкість + неточність завдання початкових умов

Ця формула правильна, але описує найпростіший з усіх можливих випадків, коли нелінійність слабка. Більшість же розглядаються з точки зору хаотичної динаміки систем є сильно нелінійними і відрізняються тим, що в них при одних і тих же параметрах можуть співіснувати різні рухи, які можуть бути як стійкими, так і нестійкими, тобто є мультістабільнимі. Завдяки існуванню в нелінійних системах безлічі рухів нестійкість не тільки викликає відхилення руху від невозмущенного при малій зміні початкових умов, а й забезпечує переходи від одного аттрактора до іншого, що відбуваються за випадковим законом. Таке блукання між аттракторами являє собою зовсім хаотичний рух. Хаотичні режими подібного типу, непередбачуваність яких визначається не тільки нестійкістю, а й мультістабільностью, є досить поширеними в нелінійних системах. У цьому випадку формула для непередбачуваності руху ускладниться:  непередбачуваність = нестійкість + неточність завдання початкових умов + мультістабільность

Окремо з точки зору передбачуваності динаміки нелінійних систем слід розглянути випадок, коли кордони басейнів тяжіння різних атракторів, що співіснують в фазовому просторі, є фрактальними. Фрактальность кордонів областей тяжіння означає ще більш сильну залежність від початкових умов. Пояснимо, як це відбувається. Якщо межі гладкі, то, задаючи початкові умови, ми потрапляємо в зону тяжіння конкретного аттрактора, і мала зміна початкових умов не приведе до виходу фазової траєкторії на інший аттрактор. Якщо ж межі фрактальні, то вони так порізані, мають таку складну структуру, що, вибираючи початкові умови, ми заздалегідь не можемо з упевненістю сказати, в зону тяжіння якого аттрактора потрапить фазова траєкторія. Навіть у випадку, коли в системі існує тільки пара періодичних режимів, розділених фрактальними кордонами, вже виникає непередбачуваність, так як невідомо, до якого аттрактору буде прагнути фазова траєкторія. У разі, коли один з атракторів хаотичний, ми маємо справу з двома рівнями непередбачуваності: спочатку через фрактальности кордонів, а потім через нестійкість індивідуальних траєкторій всередині дивного аттрактора. Цю ситуацію образно хочеться назвати "непередбачуваністю в квадраті".

У цьому випадку рух стане ще більш непередбачуваним, а вихідна формула прийме вигляд:  непередбачуваність = нестійкість + неточність завдання початкових умов + мультістабільность + фрактальностьграніц .

Ці умовні формули дозволяють нам зрозуміти, що непередбачуваність у нелінійних системах не тільки існує, а й різниться за своєю "величиною", може бути сильнішою і менш сильною. Якщо величини, що стоять в правих частинах невід'ємні (а це саме так), то в останньому випадку непередбачуваність виявляється найбільшою. Ввівши деякий критерій, ми можемо говорити про ступінь непередбачуваності руху. А це означає, що вона перестає нас дивувати, ми звикаємо до неї і навіть намагаємося її виміряти.

Слід зазначити, що встановилось складне хаотична поведінка детермінованою системи з нестійкими індивідуальними траєкторіями ніяк не залежить від неточності завдання початкових умов, а визначається тільки властивостями самої системи, тобто її рівняннями, а сама неточність завдання, флуктуації лише приводить в дію механізм нестійкості. У цьому сенсі розглядаються детерміновані системи не є підсилювачами шуму, а власне генераторами хаосу.

Непередбачуваність руху означає не принципову неможливість визначити характер руху, а невміння визначити точні координати точки в хаотичному режимі в довільний момент часу. У середньому усталений рух такої системи цілком передбачувано, ми можемо обчислити його статистичні характеристики, передбачити координати і швидкість всередині деякого імовірнісного розподілу. Пояснимо це детальніше. Якщо нам відомі рівняння динаміки деякої нелінійної дисипативної системи, задані її параметри і початкові умови, ми можемо дізнатися характер її руху. Незначна зміна початкових умов і параметрів дозволяє нам, як правило, сподіватися, що характер руху збережеться. Тобто, якщо рух було хаотичним, то при незначній зміні параметрів або початкових умов ми можемо сподіватися, що воно таким і залишиться. І ми будемо знати середні характеристики такого руху. Але траєкторії обуреного і невозмущенного рухів можуть відрізнятися по виду, і притому істотно. Більше того, якщо ми збираємося стежити за однієї-єдиної траєкторією протягом довгого часу, то знаючи, як вона виглядає зараз, ми не можемо точно сказати, як вона буде виглядати через якийсь час. Якщо згадати, що динамічні системи описують реальні системи будь-якої природи, а траєкторія руху насправді є зображенням якогось процесу розвитку в часі (скажімо, фазова координата відповідає чисельності популяції кроликів в деякий рік), то стає зрозумілим, як необачно ми чинимо, намагаючись робити скільки-небудь точні прогнози на майбутнє. Єдине, про що ми з упевненістю можемо говорити, так це про те, що процес цей буде дуже складним чином залежати від параметрів системи: при деяких їх значеннях він може бути періодичним, при деяких - хаотичним. Якщо ми провели повне дослідження динаміки системи і побудували біфуркаційну діаграму, то ми досить точно зможемо пророкувати, при яких значеннях параметрів спостерігатиметься той чи інший режим, і середні характеристики спостережуваних режимів. Однак якщо з'ясується, що при даному стані середовища популяція кроликів збільшується хаотично, то ми не зуміємо визначити, який її чисельність буде навіть через порівняно невеликий час.

Непередбачуваність поведінки окремих траєкторій, обраних завданням початкових умов з як завгодно високою, але кінцевої точністю, служить принциповою перешкодою на шляху довгострокових невероятностной прогнозів. Стосовно до метеорології Е. Лоренц назвав цей ефект непередбачуваності "батерфляй-ефектом": нехай атмосфера описується системою з хаотичним поведінкою, тоді навіть незначна зміна початкових умов, викликане помахами крилець метелика може привести до катастрофічних для довгострокових прогнозів погоди наслідків.

Підіб'ємо деякі підсумки. З часів Пуанкаре і Борна, уявлення про нелінійної динаміки сильно ускладнилися, що спричинило за собою зміни і в розумінні причин непередбачуваності руху. Якщо раніше непередбачуваність таких рухів однозначно пов'язувалася тільки з нестійкістю, то тепер стає зрозумілим, що непередбачуваність рухів в нелінійних системах може бути обумовлена, принаймні, трьома причинами: 1) нестійкістю всіх або майже всіх рухів і неоднозначністю завдання початкових умов; 2) мультістабільностью ; 3) Фрактальна кордонів басейнів тяжіння і біфуркаційних діаграм.

Все це істотно ускладнює можливість точних прогнозів нелінійних динамічних процесів, зате забезпечує розуміння того, наскільки ці процеси складні і різноманітні.

 3. Кількісні та якісні критерії хаосу. Відносність існуючих критеріїв

Виникаючі в нелінійних системах детерміновані хаотичні рухи вимагають суворого кількісного опису. Як ми показали вище, часто регулярні, періодичні чи квазіперіодичним руху, існуючі в нелінійних системах, є настільки складними, що відрізнити їх від хаотичних можна тільки, користуючись деякими критеріями. Наприклад, при переході до хаосу по знаменитому сценарієм Фейгенбаума періодичні руху послідовно подвоюють свій період, все більш і більш ускладнюючи і наближаючись по зовнішньому вигляду до дивного аттрактору. У цьому випадку досить складно по виглядом відрізнити багаторазово подвоєне періодичне рух від результуючого хаотичного. Так само важко буває іноді відрізнити від хаотичного квазіперіодичні рух з кількома непорівнянними частотами. Обчислення таких характеристик як спектр і побудова фазових портретів далеко не завжди дозволяє однозначно визначити характер руху. Значно краще працюють критерії, що використовують те властивість дивних атракторів, що всі фазові траєкторії всередині їх є нестійкими. Нестійкість окремих траєкторій використовується при визначенні хаотичності рухів, на цьому засновані обчислення основних характеристик, що відрізняють хаотичні режими від регулярних - ляпуновском характеристичних показників, ентропії, деяких видів розмірності.

Існують також кількісні характеристики, що дозволяють розрізняти хаотичні рухи по "мірі хаотичності", наприклад, розмірності хаотичних множин. Це стало особливо важливим, коли було виявлено, що в одній і тій же системі може існувати ціла "ієрархія" хаосів, що відрізняються не тільки ступенем безладності, а й деякими іншими характеристиками, наприклад, симетрією. Мабуть, всі ці характеристики є відносними, і кожна окремо не доводить існування в системі хаотичних рухів, для такого доведення вимагається обчислення відразу декількох величин, і навіть після цього можуть бути деякі сумніви з приводу того, чи є розглянуте рух хаотичним. До цих пір не існує якогось універсального безперечного кількісного критерію виникнення хаосу в системі. Тому суперечка з приводу того, чи є той чи інший рух хаотичним або регулярним досі не може мати абсолютно переконливих кількісних аргументів. Багато в чому завдяки цій обставині навіть серед фізиків все ще є сумніви в існуванні детермінованого хаосу.

Однак для окремих класів систем існують досить сильні якісні критерії хаотизації руху. Для таких систем математично строго доведено властивість гіперболічності, практично означає, що в їх фазовому просторі існує дивний аттрактор. Слід звернути увагу на наступне дуже важливу обставину:  чіткі якісні критерії хаосу існують, а чітких кількісних критеріїв немає!  Це означає, що встановлення хаотичного режиму не зводиться до зміни якої-небудь кількісної характеристики або характеристик (в іншому випадку, однозначні кількісні критерії хаосу існували б), а означає зміну деякого якості. Таким чином, виникає в системі детермінований хаос є новою якістю системи. Досить просто зрозуміти, що це за якість. Властивість гіперболічності означає появу у фазовому просторі гомоклініческіх траєкторій, що призводить до суттєвої, глобальної перебудови всього фазового простору. У результаті цього всі можливі руху об'єднуються в єдине, надзвичайно складне. Хаотичні руху, таким чином, є одночасної реалізацією великого числа можливих рухів.

Отже,  всі кількісні критерії хаотизації є відносними, якісні отримані для дуже небагатьох систем.  В даний час незрозуміло, чи є відсутність абсолютних критеріїв хаотизації результатом нашого незнання природи хаосу і недосконалості математичних методів, або непізнаванність хаосу - це його глибоке внутрішнє властивість. Насилу віриться, що коли-небудь хаотичні рухи будуть описуватися так само просто, як сьогодні описуються регулярні. Мабуть, звести хаос до добре розуміються нами регулярних рухів і оперувати хаотичними поняттями з тією ж легкістю не вдасться ніколи.

Ще однією важливою проблемою є різна поведінка хаотичних систем з диссипацией (з втратами) і без неї. Саме в системах з диссипацией виявлено описане вище явище детермінованого хаосу, що характеризується присутністю в фазових просторах дивних атракторів. Однак давно відомо, що в системах без дисипації, так званих гамільтонових або консервативних, хаотичні режими теж існують і спостерігаються досить часто. Історично склалося зовсім різне математичний опис гамільтонових і дисипативних систем не дає можливості порівнювати результати дослідження тих і інших хаотичних режимів, зіставляти їх характеристики. При цьому виникає те, що автор називає "парадоксом диссипации". Уявімо собі таку досить просту ситуацію. Нехай існує деяка нелінійна диссипативная система з хаотичним поведінкою, наприклад, простий нелінійний маятник з тертям. Його хаотичну динаміку визначає існуючий в його фазовому просторі дивний аттрактор. Будемо тепер зменшувати дисипацію (в даному випадку тертя), наближаючи систему до гамильтоновой. Хаотичний рух при цьому залишається хаотичним, проте у момент, коли диссипация стає рівною нулю, повинно поміняти свій характер. Тепер замість дивного аттрактора у фазовому просторі системи має існувати непрітягівающее хаотичне безліч, що має іншу структуру. При цьому якщо диссипация змінюється досить повільно можна уявити собі два стани системи, одне з яких буде мати дуже маленьке тертя, а друге - не мати його зовсім. Однак, ці дві дуже схожі і близькі за параметрами системи допускатимуть скоєно різний математичний опис і демонструвати різні хаотичні рухи. Введення надзвичайно малого тертя повністю змінює характер руху та його опис, що з фізичної точки зору видається дивним: у фізиці прийнято вважати, що мала зміна параметра не повинно змінювати характеру, що відбуваються. Який виникає парадокс повинен бути усунутий введенням деякого граничного переходу, плавно, а не стрибком.  Критерії хаотизації динаміки систем з диссипацией і без неї теж повинні підкорятися граничному переходу.  Чи є існуючі нині розбіжності в описах гамільтонових і дисипативних систем результатом принципової відмінності їх динаміки або просто історично сформованим фактом? На користь другого припущення говорить той простий аргумент, що не може будь-якої єдиний параметр, навіть такий важливий, як диссипация, бути настільки виділеним, щоб так сильно впливати на рух системи та докорінно змінювати опис. І чому саме диссипация?

Не менш важливим, і, може бути, більш принциповим є питання про відповідність хаотичного поведінки класичних динамічних систем та їх квантових аналогів [22]. Тут ми знову маємо справу з відмінністю в описі, причому виникає новий парадокс - порушення принципу відповідності, одного з наріжних каменів сучасної фізики, Нагадаємо, що згідно з цим принципом результати аналізу динаміки системи на квантовому мовою повинні переходити в класичні при прагненні до нуля постійної Планка h  , А при відмінній від нуля значення цієї величини (але з урахуванням її малості порівняно з характерними параметрами задачі) результати аналізу повинні бути "проміжними" між квантовими і класичними (Квазікласичне наближення). Між тим, з точки зору сучасної нелінійної динаміки, квантовомеханічної опис взагалі не повинно демонструвати хаотичної динаміки, оскільки рівняння квантової механіки лінійни! Цей парадокс якось вислизає від уваги дослідників, тому, хоча в роботах по квантовому хаосу (число яких зараз чи не перевищило число робіт з класичного хаосу) і йдеться про хаотичної динаміці, проте, ясно, що на увазі маються зовсім інші критерії і ознаки хаотичного поведінки, ніж в роботах по класичному хаосу [22]. Спроби "перекинути місток" між двома цими класами динамічних систем, а тим більше, виявити механізм переходу від квантового хаосу до класичного (або навпаки) поки успіхом не увінчалися. Дозвіл цього парадоксу принципово важливо для включення хаотичної динаміки в коло фізичних явищ, пояснюваних з єдиної точки зору на основі самих фундаментальних уявлень сучасної фізики, в іншому випадку хаотична динаміка ризикує претендувати на сумнівні лаври теорії теплового випромінювання Планка або теорії атома Бора. Дійсно, сучасна квантова теорія дозволяє пояснити всі тонкощі будови матерії від ядерної рівня до макроскопічного, і раптом з'ясовується, що пояснення явищ динамічного хаосу їй не підвладне!

Ситуація виглядає таким чином. Існують три дуже важливих класу систем, дисипативні, консервативні та квантові, в яких спостерігаються детерміновані хаотичні режими, що мають зовсім різне математичний опис. Виникає питання: чи є ці хаотичні режими принципово різними, або це розходження позірна, викликане неповнотою наших уявлень про природу світу в цілому? Оскільки "хаос" є однією з основоположних аксіоматичних категорій, важко уявити собі будь-яке його якість, яку можна було б змінити, не змінивши цього поняття в цілому. Тому представляється розумним вважати, що всі відмінності в хаотичної динами  Якщо хаотична динаміка цих класів систем справді має принципові відмінності, то слід припустити, що існують "різні" хаоси, відрізняються не кількісно, ??а якісно.  ке цих класів систем не є принциповими і можуть бути пояснені на основи єдиних уявлень. Безсумнівно одне:  парадигма динамічного хаосу, як жодна інша, в силу своєї спільності дозволяє виявити неузгодженість і недостатність опису складних явищ основоположними фізичними теоріями.  Питання про пізнаваність світу при цьому залишається відкритим, тому що невідомо, чи можливе створення єдиної теорії динамічного хаосу, примирною всі ці протиріччя.

 4. Багатовимірний і маломірний хаос. "Справжній" хаос

Відкриття детермінованого хаосу поведінки поставило нас ще перед одним питанням. Тепер, коли відомі два види непередбачуваної поведінки реальних систем, детерміноване хаотичне і шуми, тобто безладне поведінку системи з дуже великим числом ступенів свободи, яке з них вважати "справжнім", "істинним" хаосом? Для того, щоб визначити це, необхідно вибрати кілька характерних особливостей, властивих неврегульованим рухам взагалі, і порівняти їх.

Якщо порівнювати тільки кількісні характеристики, такі як спектр, автокорреляционную функцію і т.д., то по них детермінований хаос, безумовно програє шумів, оскільки може містити в собі сліди народили його періодичних рухів. Спектр шумів набагато більш гладкий, а реалізація абсолютно безладна, в той час як спектр детермінованих хаотичних рухів може містити "піки" на деяких частотах, а реалізація - ділянки, що нагадують про періодичність. Але вже в чому детермінований хаос виграє з величезною перевагою, так це в амплітудах і потужностях руху. Рівень спектрів детермінованого хаосу може перевищувати рівень шуму в сотні разів! Детермінований хаос виявляється незрівнянно сильніше стохастичности. Однак у попередньому розділі ми показали, що ніякі кількісні критерії не є визначальними для доказу хаотичності руху, хаос є якісною категорією. Тому порівняння спектральних і енергетичних характеристик двох видів нерегулярних рухів хоча і цікаво, але не є визначальним.

Спробуємо порівняти ці рухи по їх непередбачуваності. Ця якість хаотичних рухів тісно пов'язане зі способом їхнього опису. Як вже говорилося вище, в даний час хаотичні режими в системах з малим і великим числом ступенів свободи описуються абсолютно по-різному. Справді, якщо число ступенів свободи велике, то її прийнято описувати статистично, тобто визначати її середні характеристики. Наприклад, для ансамблю частинок можна визначити середню довжину пробігу, але практично неможливо координати окремої частки. Мова йде саме про практичну, а не про принципову неможливість, бо в принципі можливо вирішити систему великого числа рівнянь і визначити координати будь-якої частинки ансамблю. Все впирається в те, що вирішувати системи з великим числом диференціальних рівнянь надзвичайно складно, навіть якщо точно відомі початкові умови. У разі ж статистичного ансамблю частинок, скажімо, молекул газу, число часток дуже велике, а визначити точні початкові умови практично неможливо. Неможливість передбачення поведінки кожної окремої частки ансамблю є в даному випадку результатом нашого незнання та невміння: ми не знаємо ефективних і швидких алгоритмів розв'язання систем диференціальних рівнянь і не вміємо точно визначати початкові умови частинок. Справді, число часток в ансамблі хоча і велике, але звичайно, між зіткненнями вони рухаються прямолінійно і рівномірно по траєкторіях, що визначаються рівняннями Ньютона, в принципі ніщо не заважає нам вирішити цю задачу! Якщо число часток досить велике, то їх швидкості, координати та інші характеристики приймають всі можливі значення з деякого інтервалу. тобто виявляються равнораспределенія. Історично склалося так, що саме такий рух у фізиці прийнято вважати "істинно" хаотичним, воно називається також "білим" шумом. В якості іншого "істинно" хаотичного руху виступає турбулентний рух рідини, яке прийнято описувати як рух системи з нескінченним числом ступенів свободи. Представляється, що в тому і іншому випадку непередбачуваність руху пов'язана з недосконалістю і неповнотою нашого математичного знання.

У разі нелінійних систем з малим числом ступенів свободи ми маємо справу з детермінованим хаосом. У таких системах хаотизація руху органічно пов'язана з власною складною динамікою системи, а не зі складністю статистичного опису. Динамічні системи "народжують" хаос самі, це їх внутрішня властивість. Ми вміємо адекватно описувати рух таких систем, вміємо вирішувати відповідні рівняння.  Детермінований хаос виникає не через нашого невміння або незнання, а скоріше всупереч нашому поглибити знання.  Про непередбачуваності таких систем йшлося вище. Ця непередбачуваність набагато різноманітніша, вона призводить не тільки до неможливості точно визначити стан системи, тобто обчислити координати у фазовому просторі, але й до того, що ми не завжди можемо визначити навіть характер майбутнього руху, а стало бути і передбачити його середні характеристики. Згадаймо, що для статистичних ансамблів середні характеристики можна обчислити завжди. З цієї точки зору саме детермінований хаос слід називати істинним. Хаотичність детермінованого хаосу принципово непереборна, на відміну від хаотичності руху ансамблю частинок, яка усувається при використанні потужного комп'ютера. Використовуючи такий комп'ютер, ми можемо вирішити систему навіть дуже великого числа рівнянь і однозначно визначити координати і швидкості кожної точки, отримавши при цьому динамічну, а не статистичну картину руху, адже усереднення більше не потрібно. Ця позиція докорінно відрізняється від позиції деяких вчених, які до цих пір, незважаючи на незвичайний прогрес нелінійної динаміки в останні десятиліття, вважають детермінований хаос результатом помилок чисельного моделювання, і визнають як істинно хаотичних тільки шуми.

Більше того, рух системи з багатьма ступенями свободи, наприклад того ж ансамблю частинок газу, стає принципово непередбачуваним тільки після введення в рівняння руху членів, що відповідають за зіткнення. У цьому випадку рівняння стають нелінійними, а хаотичність їх динаміки починає визначатися саме нелінійністю, а не числом ступенів свободи. Звичайно, велике число ступенів свободи ускладнює динаміку системи, але не воно є визначальним при хаотизації. Як приклад можна запропонувати систему, поведінка якої описується п'ятнадцятьма лінійними рівняннями, і нелінійний осцилятор Дуффінга. Поведінка першої системи повністю визначене і передбачувано, хоча рішення отримати досить складно, поведінка осцилятора Дуффінга в широкій області параметрів хаотичне і непередбачуване саме в силу нелінійності системи і власної складної динаміки.

Розглянемо тепер ситуацію, коли число ступенів свободи нескінченно. У цьому випадку ми маємо справу з суцільною середовищем, наприклад, рідиною. Такі системи, як правило, є нелінійними, і допускають різні рішення, від регулярних, відповідних ламінарним течіям, до хаотичних, відповідних турбулентної рідини. Класичними прикладами турбулентності є бачені усіма слід за рухомим судном або клуби диму, що піднімається з труби. Довгий час вважалося, що в процесі виникнення турбулентності в рух повинні послідовно залучатися все нові і нові ступені свободи. Такий шлях розвитку турбулентності у свій час був запропонований Ландау [29]. Результуюче хаотичний рух є дуже складним і повинно володіти нескінченної розмірністю. Однак незабаром після відкриття детермінованих хаотичних рухів з'явилася надія, і деякі чисельні експерименти її підтверджують, що багато безконечномірні системи володіють хаотичними аттракторами невеликий розмірності, тобто хаотизація руху настає після того, як в рух включаються всього кілька ступенів свободи [30]. Якщо справа йде саме так, то і в цьому випадку число ступенів свободи виявляється менш важливим для хаотизації, ніж нелінійність, визначальна складний характер руху. Різниця в складних рухах систем з різним числом ступенів свободи виявляється меншою, ніж у систем з різними нелинейностями.

Поки ми говорили тільки про таку властивість хаотичних рухів, як їх непередбачуваність. Згадаймо, що завжди, починаючи з глибокої давнини, хаос сприймався і визначався як животворне начало, як щось, з чого виникає порядок. Поговоримо про здатність народжувати порядок. Саме це властивість і визначає особливості детермінованого хаосу: в ньому постійно виникають якісь впорядковані структури. Це відбувається, наприклад, коли при зміні параметра в динамічній системі хаотичний рух змінюється регулярним. У той час як ніхто і ніколи не бачив, як в ансамблі частинок газу, описуваних статистичними рівняннями, раптом виникло б впорядковане спрямований рух, наприклад, всі частинки газу стали рухатися тільки із заходу на схід. Ситуації ж, коли в турбулентних потоках газу або рідини виникають впорядковані течії, описуються тільки в рамках динамічних, хоча і нескінченновимірних рівнянь Нав'є - Стокса, всі можливі режими яких передвіщаються нелінійної динамікою. Виходить, що й інше невід'ємна властивість хаосу - народжувати порядок - притаманне тільки детермінованого хаосу.

Все вищесказане означає, що  детермінований хаос

  1.  набагато сильніше звичного шуму за рівнем, за амплітудою;
  2.  непередбачувані його;
  3.  народжує порядок.

А це означає, що тільки він з повним правом може претендувати на роль справжнього хаосу, того Хаосу, з якого, за здавна існуючим уявленням, народилося все суще.

Отже, відкриття детермінованого хаосу змушує переглянути існуючий до останнього часу погляд на те, що "істинно" хаотичними є руху в системах з дуже великим або нескінченним числом ступенів свободи. Цілком можливо, що через деякий час загальновизнаним стане факт, що детермінований хаос і є "справжній", "щирий" хаос.

 5. Парадокс упорядкованого хаосу

Одним з найважливіших питань, поставлених перед філософією після відкриття явища детермінованого хаосу, є наступний: як тепер співвідносяться категорії "порядок" і "хаос"? [31-33] Значні труднощі при порівнянні цих категорій виникають через те, що обидві вони практично є аксіоматичними і скільки-небудь точні визначення їх відсутні. Про хаосі ми вже отримали уявлення з першого розділу, поговоримо тепер про порядок.

 Порядок  - Категорія, що означає визначеність просторового або тимчасового положення елементів деякої множини або системи, що припускає наявність стійких зв'язків між елементами, а також існування деякого закону або симетрії, яким підкоряються ці елементи, і можливість передбачення допустимих змін. Часто вживається в більш вузькому сенсі - як наявність певних кількісних співвідношень між розмірами і формою частин системи. Зміна зв'язків між елементами або закону може змінити порядок або зруйнувати його. У людській свідомості "порядок" протилежний хаосу. Довгий час поняття "порядок" вважалося синонімом поняття "закон".

Термін "впорядкований" означає правильний, певний, передбачуваний. У фізиці він спочатку позначав існування деяких просторових структур, наприклад, в кристалофізиці, гідродинаміки, атомній фізиці. У теорії коливань термін "впорядкований" (або "регулярний") став позначати руху і стани, що розвиваються за певним законом, що володіють певними характеристиками і повністю передбачувані. У цьому випадку мається на увазі перш за все тимчасової порядок, який потім тягне за собою порядок просторових форм.

Новий інтерес до цього поняття виник на початку 70-х років з появою синергетики, яка виявила загальні закономірності в процесах утворення, існування та руйнування впорядкованих структур у складних нерівноважних системах різної природи. При цьому найважливіше значення стало набувати розуміння того, як порядок виникає, тобто того, як впорядковані стану народжуються з абсолютно безладного стану. Було з'ясовано, що виникнення упорядкованого, організованого поведінки систем може обумовлюватися зовнішніми впливами (вимушена організація) або бути результатом власних неустойчивостей (самоорганізація). В останньому випадку процес встановлення порядку пов'язаний з колективним поведінкою підсистем, що утворюють систему.

Незважаючи на те, що уявлення про хаос є первинними, хаос завжди мислився як категорія, протилежна порядку, і визначався як його антонім. До останнього часу під хаосом розумілося стан, що характеризується повною відсутністю порядку. Якщо мова йшла про хаотичному русі, то вважалося, що воно абсолютно непередбачувано, некероване.

Після відкриття динамічного хаосу стало відомо, що хаос може бути внутрішньо організований, тобто  детермінованим хаотичним рухам властива значна впорядкованість .  Цей факт пов'язаний з такими особливостями детермінованих хаотичних рухів.

  1.  Вони виникають в системах, описуваних деякими динамічними рівняннями, які по суті справи являють собою закони руху таких систем. Виниклі хаотичні рухи, незважаючи на свій складний вигляд і статистичні характеристики, теж підкоряються тим же самим законам руху. Це означає, що  існують якісь динамічні, тобто детерміновані, закони, які описують детерміновані хаотичні рухи.
  2.  Сама поява хаотичних режимів підпорядковується певним законам, отриманим на основі теорії біфуркацій та якісної теорії динамічних систем і носять універсальний характер.  Це означає, що при хаотизації поведінки систем певних класів спостерігаються загальні кількісні та якісні закономірності, які проявляються в існуванні певної послідовності біфуркацій, що відбуваються при строгому співвідношенні деяких параметрів систем. Скажімо, залежно від виду нелинейностей, що містяться в рівнянні руху, в розглянутих системах очікується той чи інший перехід до хаосу, те чи інше хаотичний рух.
  3.  Оскільки хаотичні рухи народжуються з регулярних, то часто вони несуть на собі "сліди" деякої періодичності.  Це проявляється в наявності деяких виділених частот і траєкторій.
  4.  У системах з динамічним хаосом може існувати певна ієрархія хаотичних режимів.  Це означає, що в режимі динамічного хаосу виникає деяка послідовність змінюють один одного в певному порядку хаотичних рухів, т.зв. ланцюжок біфуркацій дивних атракторів. У результаті таких біфуркацій аттрактор невеликий розмірності може змінитися аттрактором більшої розмірності, аттрактор може злитися з іншими дивними і регулярними аттракторами, змінити симетрію, зникнути, нарешті.  Існування такої ієрархії увазі, що різні хаотичні режими можна класифікувати, тобто вони дають себе упорядкувати .
  5.  Самі дивні атрактори, математичні образи хаотичних рухів, мають цілком певну внутрішню структуру ,  вони влаштовані певним чином. Відомо, що їх структура фрактальна і підпорядковується своїм власним законам подоби, а отже увазі існування деякого порядку.

Отже, розглядаючи явище динамічного хаосу ми постійно стикаємося з категоріями "закон" і "порядок". Закономірними є поява і розвиток хаотичних режимів і їх зміна один одним, впорядкованої є структура хаотичних множин. Поняття "хаос" весь час постає поруч з поняттям "закон".  Хаос виявився внутрішньо впорядкований.  Перше питання, яке при цьому виникає, наступний: можливо, складні рухи, що виникають в нелінійних системах, зовсім і не є хаотичними? Проти цього свідчить величезна кількість експериментальних і теоретичних результатів, отриманих в останні десятиліття. Теоретично доведено і практично підтверджено, що характеристики детермінованих хаотичних режимів цілком випадкові, ці рухи непередбачувані. Тоді слід переосмислити наші уявлення про хаос, може бути, приписавши йому якусь закономірність і упорядкованість як невід'ємна властивість. Тут доводиться згадати про хаотичному русі великого ансамблю частинок. Ці рухи завжди вважалися повністю невпорядкованими. Однак і вони описуються деякими вельми універсальними законами, підкоряються строго обгрунтованим розподілах. Тобто, знаючи деякі вихідні характеристики статистичного ансамблю, ми можемо зробити деякі передбачення про очікуване русі і обчислити деякі його параметри. Що з того, що ми не знаємо, як рухається окрема частка ансамблю, її рух, як правило, нас і не цікавить. Хоча дещо і про її русі ми можемо заздалегідь сказати, Наприклад, що між зіткненнями з іншими частками вона рухатиметься прямолінійно і не покине заданого об'єму. і т.д. Таке хаотичний рух, як турбулентність, як відомо, теж підкоряється певним закономірностям. Згадаймо, що і в турбулентному режимі рух рідин підпорядковується рівнянням Нав'є-Стокса, а турбулентні течії виникають з ламінарних при збільшенні числа Рейнольдса.

Отже, ми приходимо до наступного висновку. Всі хаотичні рухи підкоряються деяким законам, тому хаотичним рухам слід приписати деяку ступінь впорядкованості. Отже, визначати хаос як повна відсутність порядку, мабуть, не можна. У теж час не можна зводити хаотичні стани і рухи до впорядкованих, вони набагато складніше, мають на увазі зовсім інше опис.  Виникає наступне парадокс: щось цілком безладне проте володіє деякою впорядкованістю.  Властивістю хаосу стає порядок. Ще недавно таку ситуацію не можна було уявити, тепер, після того, як детермінований хаос виявлений у величезному числі систем, вона стає типовою. Уявлення про хаосі, як про що-то абсолютно безладному, бесструктурном, виявляються надзвичайно спрощеними. Так що ж, порядок виявляється первинним стосовно хаосу, він "головніше"? Тут ми повинні згадати, що  сам порядок виявився внутрішньо хаотичним  , Це теж виявилося завдяки відкриттю явища динамічного хаосу. Дійсно, системи, описуваними строгими законами руху, що вважалися абсолютно впорядкованими, демонструють хаотична поведінка, і це виявляється типовим. Регулярні руху при зміні параметрів перетворюються на хаотичні, і навпаки. Багато руху та системи постійно "балансують" на межі хаосу і порядку. Повсюдно хаос народжується з порядку, а порядок з хаосу .. Тепер система може вважатися і впорядкованої, і хаотичною одночасно, "хаос" і "порядок" виявляються двома "іпостасями" станів і рухів, постійно перетворюються один в одного. Отже, слід визнати, що  "Хаос" і "порядок" слід розглядати як класичну пару протилежностей, що не існують одне без одного, у своєму протиріччі визначають розвиток і рух усіх систем.  Хаос несе в собі риси порядку, порядок - хаосу, вони внутрішньо єдині, нерозривні і укладені один в одному.

 6. Ще раз про детермінізм. Динамічна і статистична закономірності

Отже, детермінований хаос являє собою стан, в динамічному сенсі не передбачуване. Вище було сказано, що це пов'язано з нестійкістю в хаотичному режимі індивідуальних траєкторій, тобто чутливістю по відношенню до початкових умов, мультістабільностью нелінійних систем, Фрактальна кордонів басейнів тяжіння окремих режимів і т. д. Навіть точне завдання початкових умов в нелінійній системі з детермінованим хаотичним поведінкою не означає, що ми зможемо визначити хоча б характер руху: практично при одних і тих же початкових умовах, але при мало відрізняються параметрах системи в останньої можуть існувати як регулярні, так і хаотичні режими. Якщо до цього додати принципову у фізиці неточність завдання початкових умов, виявиться, що рух складної нелінійної системи цілком непередбачувано.

Підкреслимо ще раз, що мова йде про непередбачуваність саме в динамічних систем. З непередбачуваністю в статистичних системах спочатку фізика, а потім і філософія звиклися досить давно. Відомо, що лапласовскій детермінізм пішов у минуле після створення статистичної фізики. Статистична зв'язок між попередніми і наступними станами систем давно отримала обгрунтування і стала загальновизнаною. З тих пір вважається, що динамічна закономірність є окремим випадком статистичної з імовірністю здійснення, близькою до одиниці. Мається на увазі. що чим складніше система, тим більш доречно статистичний опис, а статистична закономірність у принципі не зводиться до динамічної.

Відкриття явища детермінованого хаосу змушує переглянути укорінені погляди і з цього питання. Зараз відомо, що величезна кількість систем з колосальною різницею в просторових і часових масштабах володіє хаотичної динамікою. Це означає, що такі системи описуються динамічними законами, що для них можна записати рівняння руху, на перший погляд досить прості, і що поява непередбачуваності в їх розвитку, яке тягне за собою статистичний опис, є результат точного динамічного закону руху. У системах, описуваних динамічними рівняннями, можливі два принципово різних види руху: впорядковані та хаотичні.  Хаотичні руху, таким чином. є окремим випадком всіх можливих рухів динамічної системи, а статистична закономірність у цьому випадку врозріз з раніше прийнятими поглядами виступає як окремий випадок динамічної закономірності, а не навпаки .

Однак у реальному світі поряд з величезним числом динамічних систем існує величезна ж число статистичних систем. Для них існують лише статистичні закономірності, а точні передбачення розвитку можливих процесів є неможливими. Тому всякий складний процес розвитку може підкорятися як динамічним, так і статистичним законам розвитку. Рух у режимах хаотичної динаміки так само непередбачено, як і в статистичних режимах. Непередбачуваність руху виступає як міра його складності, динамічної або статистичної. Динамічна ж і статистична закономірності на сьогоднішній день представляються за своєю складністю рівнозначними.

А от поняття "закон", мабуть, має бути кілька переосмислено. В даний час під законом розуміють внутрішню, істотну і стійкий зв'язок явищ, що обумовлює їх впорядковане зміна. Існування детермінованих хаотичних режимів не дозволяє підвести під це визначення практично всі нелінійні закони руху, т.к. зміна описуваних ними величин далеко не завжди відбувається впорядковано. Тоді законом слід називати істотну і стійкий зв'язок явищ, що приводить до їх зміни, впорядкованого або невпорядкованому.

Спробуємо в ув'язненні остаточно сформулювати, що означає детермінованість поведінки нелінійних систем.

  1.  Якщо система нелінійна, то ми з упевненістю можемо передбачити, що поведінка її буде дуже складним, при деяких параметрах - регулярним, при деяких - хаотичним.
  2.  Якщо її поведінка заздалегідь досліджено, тобто побудовані біфуркаційні діаграми та області тяжіння різних атракторів, то ми можемо з великою ймовірністю сказати, яким буде режим при вибраних значеннях параметрів і заданих початкових умовах.
  3.  Якщо система мультістабільна, а басейни тяжіння різних атракторів невідомі, то ми не можемо з упевненістю стверджувати, який режим встановиться в системі при обраних значеннях параметра.
  4.  Якщо біфуркаційні діаграми або межі басейнів тяжіння Фрактальна, то це сильно утрудняє пророкування.
  5.  Якщо біфуркаційні діаграми побудовані, то ми взагалі нічого не можемо сказати про те, який режим буде спостерігатися при вибраних значеннях параметрів, якщо параметри досить великі, щоб система вважалася нелінійної.
  6.  Якщо система виявляється в режимі детермінованого хаосу, то неможливо точно передбачити її стан в довільний момент часу.
  7.  Тільки в регулярних режимах, періодичних або квазіперіодичних, ми можемо точно передбачати стан системи в довільний момент часу.
  8.  У хаотичних режимах ми можемо передбачати середні характеристики руху, тобто описувати поведінку системи статистично.

З усього цього стає ясно, що точно передбачати поведінку нелінійних систем з хаотичною динамікою можна тільки в дуже рідкісних випадках. Ми бачимо, що кількість заборон на передбачення досить велике. Мабуть,  нелінійна динаміка виявляється менш детермінованою, ніж квантова механіка  , Що була до останнього часу еталоном непередбачуваності. Однак невипадково динамічний хаос називають детермінованим, саме його поява, так само як і інших складнощів в русі, зумовлене в нелінійних системах, обумовлено існуванням нелінійності. У випадку з нелінійної динамікою, так само як і у випадку з квантовою механікою, ми "поміняли" багато дрібних знань на одне велике. Тепер ми не можемо точно передбачати стан системи, зате знаємо, що її динаміка не вичерпується найпростішими режимами, що закони її розвитку надзвичайно складні.

 7. Діалектика хаотичного

Знання законів розвитку конкретних систем і класів систем з хаотичним поведінкою, отримане теоретично і експериментально, дає нам уявлення про складність протікають у них процесів. Не менш важливим є питання про загальні закони розвитку систем з детермінованим хаотичним поведінкою. Знання законів розвитку конкретних систем і класів систем з хаотичним поведінкою, отримане теоретично і експериментально, дає нам уявлення про складність протікають у них процесів, але не цілком узгоджується з класичними філософськими уявленнями про русі і розвитку. Складність дослідження поведінки навіть окремо взятої нелінійної системи, величезне число подібних систем в природі змушують нас відмовитися від пошуків відповіді на це питання в рамках конкретних наук або навіть комплексів наук. Мабуть, відповідь на нього може бути отриманий тільки на філософському рівні. Безсумнівно, що революція в класичній динаміці спричинить революційні зміни в і традиційних філософських поглядах, як це вже відбувалося після появи інших загальнонаукових парадигм. Ці зміни вже назріли, про них вже говорять і пишуть [32, 34, 35]. Філософія повинна "впустити в себе" самоорганізацію і хаос, як це вже зробила фізика та інші науки. З цієї точки зору видається важливим проаналізувати загальні закони розвитку систем з детермінованим хаотичним поведінкою на основі класичної діалектики, в останні роки незаслужено забутої, і перевірити, укладаються чи ці закони в класичні рамки, або ці рамки слід розсунути. Більш строго проблема повинна бути сформульована так:  які закони розвитку систем з хаотичним поведінкою, чи зберігаються для них закони діалектики в їх традиційному звучанні або їх необхідно доповнити і ускладнити відповідно із знов відкритими особливостями поведінки нелінійних систем?  Цілком можливо, що революція в класичній динаміці спричинить революційні зміни в і традиційних філософських поглядах, як це вже відбувалося після появи деяких загальнонаукових парадигм. Для того, щоб розібратися з поставленою проблемою, розглянемо динаміку типовою системи з детермінованим хаотичним поведінкою. Розгляд почнемо з закону, який завжди представлявся самим простим і наочним з трьох гегелівських законів, закону переходу кількісних змін у якісні.

 Закон переходу кількісних змін у якісні.  На перший погляд здається, що системи з детермінованим хаотичним поведінкою служать найкращим прикладом дії цього закону в його класичному варіанті. Яскравим виразом дії цього закону є біфуркації - різкі, якісні зміни стану системи, що відбуваються при зміні деяких параметрів, що характеризують її стан. Розглядаючи їх схематично і поверхнево, можна злічити, що вони є найчистішої демонстрацією роботи першого закону діалектики. Справді, плавно змінюючи параметри системи, можна домогтися різкого, стрибкоподібного зміни її стану. Так, наприклад, при зміні диссипации нелінійного маятника можна домогтися того, що періодичне, регулярне стан, існуюче при великих значеннях дисипації, може стрибкоподібно перетворитися на хаотичне. Ми маємо справу з прикладом, який міг би стати таким же хрестоматійним, як перетворення води в лід при зміні температури. Справа, однак, ускладнюється тим, що нелінійні системи є в принципі мультістабільнимі, це означає, що для більшості нелінійних систем в момент біфуркації існує не одна, а кілька можливостей змінити свій стан. Прикладом такої системи може служити той же самий нелінійний маятник, який при одній і тій же масі, довжині і жорсткості підвісу, залежно від того, як ми його відхиляємо, тобто залежно від початкових умов, може коливатися з різними періодами, демонструвати симетричні або асиметричні, а то й зовсім хаотичні рухи. У фазовому просторі такої системи в цьому випадку будуть спостерігатися граничні цикли різних періодів, розмірів і форм, кожен з яких володіє своїм власним "басейном тяжіння", тобто є оточеним деякої областю, з якої все фазові траєкторії приходять саме до цього руху. При вивченні динаміки такої системи ми спостерігаємо за яким-або одним з цих станів, як правило, найбільш легко реалізованим. Зміна параметрів нелінійної системи рано чи пізно призводить до біфуркації або навіть послідовності біфуркацій, кожна з яких, як це і передбачає закон переходу кількості в якість, змінює стан системи. Парадокс полягає в тому, що через мультістабільності системи ми часто не можемо передбачити, в який стан вона перейде після біфуркації. Уявімо собі воду, яка після замерзання перетворювалася б на лід різного виду: зелений, жовтий чи червоний, - а то й зовсім би в пісок або пар. Ще більш ускладнює ситуацію той факт, що під час нашого спостереження в розглянутій системі існують і інші стани, які можуть зазнавати біфуркації одночасно з тим, яке ми вивчаємо, або зазнавати їх у зовсім іншій області параметрів.

Отже, після біфуркації система може опинитися в одному з можливого набору станів, причому реалізація такої можливості залежить від цілого ряду чинників, якими не завжди можна управляти. Таким чином,  зміна параметрів (кількісних характеристик) часто призводить до непередбачуваного зміни якості руху.  Колишнє до цього регулярним, рух після біфуркації може стати хаотичним або залишитися регулярним, змінивши свій період або якісь інші характеристики. Більш того, для деяких систем реалізація того чи іншого з співіснуючих рухів дуже складним чином залежить від початкових умов, у випадку, коли кордони басейнів тяжіння Фрактальна. У цьому випадку характер руху змінюється, як це обговорювалося вище, не просто непередбачувано, а непередбачувано "в квадраті". При цьому  одні й ті ж кількісні зміни, що виражаються параметрами системи, можуть призводити до появи різних якостей ,  якість визначається не тільки кількістю, а чимось ще.

Таким чином, для хаотичних систем у першому наближенні закон переходу кількості в якість слід було б переформулювати так: в системах з хаотичною динамікою кількісні зміни, накопичуючись, приводять до якісних змін, причому ці останні можуть бути досить різноманітними, часто непередбачуваними.

Крім того, в системах з хаотичною динамікою, кількісні зміни, що призводять до різких змін стану, як правило, підпорядковуються деяким універсальним кількісним самим закономірностям, які спостерігаються для систем різної природи і по праву називаються законами. Ці закони чітко сформульовані для систем різних класів і в даний час загальновідомі. При цьому процес народження нової якості може поділятися на етапи, що підкоряються строгим кількісним змінам, причому цих етапів може бути дуже багато, в межі навіть нескінченне число, як це відбувається, наприклад, під час так званого нескінченного каскаду біфуркацій подвоєння періоду Фейгенбаума. При зміні параметрів система в останньому випадку відчуває послідовні біфуркації, результатом кожної з яких є подвоєння періоду вихідного руху, результатом ж всієї послідовності є встановлення хаотичного стану. Якісні стрибки відбуваються в результаті зміни кількісних характеристик, причому ці зміни підпорядковуються, в свою чергу, строгим кількісним законам. Ми в цьому випадку маємо закон законів, застосовуючи той же образ, що й вище, "закон в квадраті". Велике число біфуркацій, що відбуваються в дуже вузькій області зміни параметрів, призводить до появи великої кількості послідовних, найчастіше важко помітних станів, що передують результуючому станом, дійсно різко відрізняється від вихідної. Отже,  якісні зміни можуть бути результатом цілої послідовності більш дрібних і важко помітних якісних же змін, кожне з яких відбувається в результаті кількісних змін, що відрізняються певною закономірністю.

І навпаки, в системах з нелінійної динамікою виникають ситуації, коли різка зміна стану системи, наприклад втрата ним симетрії або виникнення хаотичного режиму відбуваються в результаті єдиною "м'якої" біфуркації, дивно змінює стан системи. Такі "м'які" біфуркації часто бувають підготовлені попередніми станами, і в результаті їх аналізований режим набуває небудь якість деякого іншого режиму, існуючого в системі при інших початкових умовах. У цьому випадку якості різних рухів як би зливаються. Так відбувається, наприклад, при злитті метастабільних хаотичних множин з періодичними рухами, коли результуючий дивний аттрактор носить явні сліди обох. Таким чином, система може знайти нову якість не в результаті зміни її власних кількісних характеристик, а отримавши його від іншої системи, що об'єдналася з першою в процесі розвитку. Грубий приклад такої зміни якості може дати злиття двох Німеччин, в результаті якого колишня НДР стала частиною капіталістичної країни з розвиненою економікою. Іншим прикладом можуть служити "нерівні" шлюби.  Нові якості можуть набуватися у результаті злиття станів або обміну.

Типовими ж є і ситуації, коли в хаотичній системі співіснує деякий безліч станів, настільки мало відрізняються один від одного, що їх розрізнення вимагає досить складних досліджень. Хоча це різні стани, тобто кожне з них володіє яким-то особливою якістю, що відрізняє його від інших, майже всі кількісні характеристики у них однакові (наприклад, пари асиметричних циклів практично однакової форми і одного періоду рождающиеся після біфуркації руйнування симетрії). Взагалі, для того, щоб відрізнити деякий дуже складне періодичне або квазіперіодичні рух від хаотичного, необхідно обчислити ряд досить складних характеристик, тому що візуально це зробити можна далеко не завжди.  Однакові кількісні характеристики і навіть однакові набори кількісних характеристик можуть відповідати різних якостях!  Це змушує задатися наступним питанням, яке поки залишається відкритим:  чи не повинна сама категорія "якість" теж бути переосмислена?  Може бути, вона повинна бути більш строго перевизначена як гнучка сукупність деякого набору кількісних характеристик, зміна однієї з яких або навіть декількох далеко не завжди змінює саме якість, навіть якщо ця зміна сильне?

Тоді ми можемо доповнити записану вище формулювання закону переходу кількості в якість для нелінійних систем таким чином:  кількісні зміни, підкоряючись строгим динамічним закономірностям, призводять до якісних змін стану системи, причому ці останні можуть бути різноманітними, непередбачуваними або передбачуваними, стрибкоподібними або плавними, якості можуть змінюватися в результаті того, що в ряді випадків стану обмінюються свої якісними характеристиками або об'єднують їх.

 Закон єдності і боротьби протилежностей.  Перейдемо тепер до закону єдності і боротьби протилежностей. Вся хаотична динаміка служить прекрасною демонстрацією цього закону: при виникненні хаотичних рухів регулярне і хаотичне, порядок і безладдя, симетрія і асиметрія, перебуваючи в нерозривній єдності і безперервній боротьбі визначають динаміку системи, її розвиток і зміна. Мабуть, основним нововведенням, внесеним хаотичної динамікою в цей процес, є те, що в процесі розвитку системи, як правило, беруть участь кілька пар протилежностей. Так, наприклад, в симетричних системах в освіті хаотичних множин поряд з парою "впорядковане - хаотичне" не менш важливу роль відіграють пари "сталий-нестійке" і "симетричне - асиметричне". Закон єдності і боротьби протилежностей в системах з детермінованим хаосом в найбільш закінченому вигляді проявляється у парі "стійкість - нестійкість" і "хаос - порядок". Почнемо з протилежностей "стійкість" і "нестійкість". По-перше, вони не існують одне без одного. У нелінійних системах існують цілі ієрархії змінюють один одного рухів, кожне з яких в момент появи є стійким, а потім із зміною того чи іншого параметра стає нестійким. Поняття "стійкий" при цьому стає синонімом "існуючого", а поняття "нестійкий" - синонімом "неіснуючого". Будь стійкість стає нестійкістю, а нестійкість передує появі стійкості. Безперервно змінюючи один одного на різних етапах розвитку динаміки системи, вони визначають цей розвиток і існують друг без друга. Оскільки в нелінійних системах існує безліч можливих рухів, то вибір початкових умов може визначати шлях розвитку динаміки, а стало бути ту чи іншу ланцюжок змінюють один одного устойчивостей або неустойчивостей. Закон єдності і боротьби протилежностей при цьому може набути різні конкретні прояви навіть для однієї і тієї ж системи при одних і тих же значеннях параметрів. Аналогічно справа йде і при розгляді внутрішньої єдності і боротьби іншої пари протилежностей, що визначають характер руху - протилежностей "порядок" і "хаос". Сутність їх єдності і боротьби полягає в наступному. Хаотичні режими спостерігаються в системах, рух яких визначається деяким законом, тобто є цілком упорядкованим. На деякій етапі свого розвитку рух системи стає хаотичним. Однак, цей хаотичний режим підпорядковується певному порядку, він виникає, як вже було сказано вище, за певними законами, сам має внутрішню структуру, і на певному етапі знову змінюється впорядкованим рухом. Така зміна хаотичних і регулярних режимів теж підпорядковується певним закономірностям, хоча хаотичні режими в динаміці подібних систем, як правило, переважають. Ця зміна впорядкованих і хаотичних станів і визначає розвиток системи. Важко сказати, чого в поведінці такої системи більше - хаосу або порядку, вони перебувають у нерозривній єдності, безперервно вступаючи в боротьбу один з одним. Можливо, ця пара протилежностей визначає розвиток усієї світобудови, однак саме на прикладі систем з детермінованим хаотичним поведінкою вона найбільш ясно і образно демонструє своє бореться єдність. Саме взаємодія хаосу і порядку визначає поведінку нелінійних динамічних систем, тобто тих систем, які найбільш наближені до реальних.

Більш того, в процесі розвитку хаотичних систем часто беруть участь не тільки кілька пар протилежностей, але і їх складні утворення, У тих же симетричних системах з хаотичним поведінкою, умовно кажучи, в боротьбі за динаміку беруть участь "симетричні впорядковані", "симетричні хаотичні", " симетричні впорядковані "і" асиметричні хаотичні "руху, кожне з яких, у свою чергу можуть бути стійкими або нестійкими .. Якщо раніше поняття" симетричне хаотичне "і уявити собі було не можна, то тепер такі протилежні категорії природним чином зливаються в одну, яка, в свою чергу, входить у складну пару або навіть четвірку борються начал. Таким чином,  в процесах розвитку хаотичних систем беруть участь як класичні пари борються протилежностей, так і складні, коплексного освіти з "старих" протилежностей.

 Закон заперечення заперечення.  Ускладнюється реалізація і цього закону. На певних етапах розвитку хаотичної системи він діє в чистому вигляді. Прикладом може служити ланцюжок біфуркацій подвоєння періоду, що завершується народженням дивного аттрактора. У цьому випадку все відбувається за класичною схемою: мається сукупність змінюють один одного, заперечують одне одного станів, кожне з яких містить характерні риси попереднього, з тією лише різницею, що ця сукупність є нескінченно довгою. Зняття особливо очевидно при переході до дивного аттрактору: виник хаотичне безліч практично складається з нескінченно великого числа раніше існуючих періодичних циклів, але принципово відрізняється від них.

Однак, якщо дослідити хаотичну динаміку більш докладно, можна спостерігати ряд явищ, які не можуть вкладатися в рамки класичного закону заперечення заперечення. Почнемо з тези про спадкоємність розвитку.  У нелінійної динаміці наступність розвитку часто-густо порушується .  Дуже часто у фазовому просторі нелінійних систем виникають такі ситуації, коли після чергової біфуркації встановлюється режим, нічого спільного не має з попереднім. Наприклад, в системі існувало стійке періодичне рух одного періоду, а потім в результаті жорсткої біфуркації несподівано з'явилося періодичне рух зовсім іншого періоду. Останнє існує в абсолютно іншій області фазового простору і нічого спільного з вихідним рухом не має. Взагалі, жорсткі біфуркації, настільки типові для нелінійних мультістабільних систем, не дозволяють говорити про спадкоємність розвитку в подібних випадках. Рух набуває зовсім інші характеристики і на не містить риси попереднього. Образно кажучи, ми спостерігаємо за цілком нормальним розвитком гусениці, але через деякий час перед нами виявляється не метелик, а жук або навіть миша. Цілком очевидно, що про повторюваність на певному етапі розвитку деяких властивостей попередніх етапів при відсутності наступності говорити не доводиться.

Не завжди підтверджуються при дослідженні хаотичної динаміки і уявлення про спіральному характері розвитку. Крім частого відсутності наступності рухів, у розвитку проявляються процеси, що ламають будь-які уявлення про спіралі. Справа в тому, що  для систем з хаотичною динамікою типовими є повернення до колишніх станів .  Наприклад, після встановлення хаотичного стану система при зміні параметрів може поетапно або стрибком повертатися до колишнього, впорядкованого стану, нічим не відрізняється від початкового. У згаданому вище випадку цьому відповідає перехід від дивного аттрактора до послідовності граничних циклів, періоди яких уполовініваются, і в підсумку до циклу періоду один, який існував у системі на першому етапі. Результуюче і вихідні періодичні рухи абсолютно ідентичні. Такі ж повернення до існували раніше режимам спостерігаються не тільки для дивних атракторів, а й для граничних циклів, можуть відбуватися у вигляді послідовності біфуркацій або стрибком і є типовими, спостережуваними практично в будь нелінійної системі. Добре ілюструє парадоксальність таких повернень наступний приклад. Уявімо собі, що після всіх етапів суспільного розвитку на зміну капіталістичному суспільству знову прийшло первіснообщинний, або послідовно змінюють один одного феодалізм, рабовласницька і т. д. Хоча вищесказане вже не здається таким парадоксальним, якщо згадати, що ж подібну послідовність етапів розвитку зазнало і наше суспільство: капіталізм змінився соціалізмом, а той - знову капіталізмом.

Отже, повернення до колишніх станів виявляються типовими для нелінійних систем різної природи, причому перехід до раніше існуючим станам можливий і від періодичних, і від хаотичних режимів.  Спіральний характер розвитку при цьому можливий тільки в тому випадку, якщо ця спіраль сильно деформування, зігнута або навіть пов'язана вузлом.  Про чіткому виконанні класичного закону заперечення заперечення в таких ситуаціях не може бути й мови, все йде багато складніше. Ще раз обмовимося, що у всіх цих випадках ми маємо справу не з екзотичними, а типовими, постійно спостерігаються ситуаціями.

Звичайно, загальні закони розвитку хаотичних систем, тобто практично всіх реально існуючих систем, вимагає подальшого осмислення. Очевидно одне: діалектика хаотичних систем настільки ж складніше загальновідомою класичної, наскільки хаотична динаміка складніше класичної лінійної. Мабуть, у світлі нових уявлень про динаміку поряд з самими законами діалектики повинен бути переосмислений практично весь їх категоріальний апарат. Класична і навіть посткласична філософія не готова обгрунтувати революційні уявлення сучасної фізики про самоорганізацію і детерминированном хаосі. Нелінійна динаміка вимагає нелінійної діалектики, і не треба боятися прийдешніх змін.

 Зміст  Далі

наверх

psm.in.ua

     © psm.in.ua - підручники, статті та монографії
енциклопедія  флотський  пломбір  зелені  запіканка